[Sistemi]: Esercizio Equilibrio

[Lionel]

Ma l'equazione di partenza del primo post considerando un sistema lineare cambierà quindi non avrò più:

$ddot x = (1/M)*(-M*g - F(t) - K*x - C dot x)$

ma comunque sarà sempre un sistema massa-molla-smorzatore non lineare. Giusto? Ma quella non linearità cosa mi va a modificare nell'equazione di partenza?

[Ska]

Sì, mi sembra ragionevole usare come uscita la posizione della massa

[Lionel]

Sì, mi sembra ragionevole usare come uscita la posizione della massa

Ma l'equazione di partenza del primo post considerando un sistema lineare cambierà quindi non avrò più:

$ddot x = (1/M)*(-M*g - F(t) - K*x - C dot x)$

ma comunque sarà sempre un sistema massa-molla-smorzatore non lineare. Giusto? Ma quella non linearità cosa mi va a modificare nell'equazione di partenza?

[Ska]

Se decidi di introdurre un comportamento non lineare nella forza di richiamo della molla devi ovviamente cambierà l'equazione che descrive il sistema, così anche se decidi di cambiare il comportamento dello smorzatore.

Se considere \( \displaystyle F_{molla} = -K g(x) \) e \( \displaystyle F_{smorzatore} = -C h(\dot x) \) avrai
\( \displaystyle \ddot x = -\frac{K}{M}g(x) - \frac{C}{M} h(\dot x) + \frac{F}{M} - g \)

Puoi pensare di usare ad esempio come \( \displaystyle g(x) = x^3 + x \) e una cosa simile anche per lo smorzatore....

Avere un sistema di \( \displaystyle n \) equazioni differenziali del primo ordine o un'unica equazione differenziale di ordine \( \displaystyle n \) non cambia, sono due rappresentazioni diverse della stessa cosa.

[Lionel]

Continuo questo esercizio e l'ho implementato in matlab. I punti di equilibrio che ho ricavato sono:

$x_1= -2.87$ e $x_2=0$

con uscita di equilibrio

$y= x_1 = -2.87$

e $u = -g - (F/M)$

Quando scrivo nel workspace le variabili e poi faccio partire il comando per determinare i punti di equilibrio

[x,u,y]=trim('massamollasmorz',[-2.87;0],-11.8,-2.87)

Ho questo errore perché?


??? Error using ==> trim
Error using ==> feval
U vector size does not match system input vector.

[Ska]

Non so che script tu stia usando, quindi mi è difficile aiutarti.

[Lionel]

Non so che script tu stia usando, quindi mi è difficile aiutarti.

Sono riuscito a risolvere in parte il problema, utilizzo questo schema Simulink:



Uploaded with ImageShack.us

i dati che uso sono i seguenti:

$M = 10$
$C = 0.5$
$F = 20$
$g = 9.8$
$U = -g-(F/M)$

li inserisco proprio così nel workspace di matlab. Quando vado a calcolare i punti di equilibrio con il comando

[x,u,y]=trim('massamollasmorz',[-2.8;0],-11.8,-2.8)

ottengo

x =

-2.8225
0


u =

-11.8225


y =

-2.8225

Nel momento in cui vado a calcolare le matrici ottengo:

A =

0 1.0000
-0.0247 -0.0500


B =

0
-1.0000


C =

1.0000 0


D =

0

e la matrice A non si trova con quella che vado a calcolare carta e penna. Ho sbagliato il modello Simulink? Non mi trovo solo il valore $a_(2_1)$ della matrice A e il $-1$ della matrice B

[Ska]

Così a occhio non mi sembra ci siano errori nello schema simulink, per quanto riguarda gli stati di equilibrio io non ho mai usato trim, ho provato e però ho visto che se specifica una $u_0$ questa è solo il valore iniziale dell'ingresso, nn so perchè poi cambi :/. Io per risolvere ho tolto il pin di ingresso e lasciato la costante $U$ in ingresso. Linearizzando così però non ottengo l'informazione sul vettore $B$ che dovrebbe essere $[0 1]'$. Per ottenere quello sostituisco alla costante $U$ di equilibrio il pin di ingresso che però deve essere col segno +! ecco perchè a te risulta $-1$ poichè il pin di ingresso è col segno meno!

Per quanto riguarda la matrice $A$ a me risulta diverso il termine di posizione $(2,1)$, quindi nn saprei dirti.