Trasformata di fourier per segnali reali e complessi

[Alberto88]

Salve a tutti,
sono nuovo del forum;
sono alle prese con teoria dei segnali e vorrei capire meglio quando sono applicabili le varie rappresentazioni della serie di Fourier; mi spiego meglio:
se il segnale è reale esistono le tre rappresentazioni diverse: polare, rettangolare e complessa.
se il segnale è a valori complessi, posso usare le prime due?
cioè un segnale complesso può essere espresso in forma polare o in forma rettangolare?
Purtroppo non riesco a trovare un testo con una trattazione completa, estesa anche a segnali complessi, e non so come levarmi questo dubbio.
Sono quasi sicuro che una funzione a valori complessi non possa essere espressa nelle prime due forme, perchè si tratta di somme di funzioni reali, però volevo una conferma.
naturalmente se considero un segnale complesso come x(t)=Re[x(t)]+jIm[x(t)], posso sviluppare la parte reale e la parte immaginaria (che sono reali) in forma rettangolare o polare. ma il segnale x(t), posso scriverlo come somma di coseni?
la risposta, che sembrerebbe essere banalmente "no", non è mai esplicitamente specificata nei libri di testo, che parlano solo di "segnali" senza specificare mai il codominio!!!

[Ska]

Se hai ad esempio \( \displaystyle x(t) = x_r(t) + j x_i(t) \) con \( \displaystyle x: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C} \) , \( \displaystyle x_r,x_i: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \) tutti sviluppabili in serie di Fourier a periodo comune $T$, allora si ha che:

\( \displaystyle x_r(t) = \alpha^r_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^r_k \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) + \beta^r_k \sin\left(2\pi \frac{k}{T}t\right) \)
e
\( \displaystyle x_i(t) = \alpha^i_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^i_k \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) + \beta^i_k \sin\left(2\pi \frac{k}{T}t\right) \)

dato che \( \displaystyle x(t) = x_r(t) + j x_i(t) \) , possiamo scrivere

\( \displaystyle x(t) = \left[ \alpha^r_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^r_k \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) + \beta^r_k \sin\left(2\pi \frac{k}{T}t\right)\right] + j\left[ \alpha^i_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^i_k \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) + \beta^i_k \sin\left(2\pi \frac{k}{T}t\right) \right] = (\alpha^r_0 + j \alpha^i_0) + 2\sum_{k=1}^{\infty} (\alpha^r_k + j\alpha^i_k) \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) + (\beta^r_k + j\beta^i_k) \sin\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) \)

Ora però se chiamiamo \( \displaystyle \alpha_k = \alpha^r_k + j\alpha^i_k \) e \( \displaystyle \beta_k = \beta^r_k + j \beta^i_k \) possiamo scrivere ricordando ora che \( \displaystyle \alpha_k, \beta_k \in \mathbb{C} \)
\( \displaystyle x(t) = \alpha_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty} \alpha_k \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) + \beta_k \sin\left(2\pi \frac{k}{T}t\right) \)

Dato che \( \displaystyle \alpha^r_k = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} x_r(t) \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) dt \) , \( \displaystyle \alpha^i_k = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} x_i(t) \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) dt \) , \( \displaystyle \beta^r_k = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} x_r(t) \sin\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) dt \) , \( \displaystyle \beta^i_k = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} x_i(t) \sin\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) dt \)
si può concludere che \( \displaystyle \alpha_k = \alpha^r_k +j\alpha^i_k = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} x(t) \cos\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) dt \) e \( \displaystyle \beta_k = \beta^r_k +j\beta^i_k = \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} x(t) \sin\left (2\pi \frac{k}{T}t\right) dt \)

Quindi questa la possiamo interpretare come forma trigonometrica di un segnale periodico complesso, ma i coefficienti sono ovviamente complessi!


Per la forma polare non credo si possa fare nulla.... per quella trigonometrica quanto ho scritto non l'ho mai visto sui libri, sono considerazioni personali che ho fatto partendo dall'ipotesi di vedere \( \displaystyle x(t) \) come combinazione lineare di segnali reali sviluppabili in SdF con periodo \( \displaystyle T \) .

[Alberto88]

geazie!
facevo il tuo stesso procedimento solo che non mi era venuto in mente di raggruppare la j con il coefficiente bi, quindi mi rimaneva sempre questa j che non mi permetteva di raggruppare il tutto.
Un'ultima cosa: questo naturalmente è vero solo se il periodo T è lo stesso! altrimenti le cose sarebbero diverse, ma già il risultato di prima mi basta.
La mia era più una curiosità, che scaturiva da alcune considerazioni sui coefficienti quando il segnale è reale, considerazioni che non sono valide se il segnale è appunto complesso.
Grazie!

[Ska]

Sì, \( \displaystyle T \) deve essere il periodo comune della parte reale e della parte immaginaria.