Una barra semiinfinita di materiale conduttore termico, di densità lineare data, calore specifico, trasmittanza termica della sezione dati, è soggetta riceve una potenza termica nella sezione estrema, regolata mediante un sistema di controllo che ha come ingresso la temperatura misurata nella sezione della barra ad una certa distanza x dall'estremo, il quale viene confrontato con un valore di temperatura impostato.
Quello che vorrei riuscire a fare è calcolare la risposta transitoria del sistema nel caso in cui la barra sia giunta a regime ad una certa temperatura e successivamente venga impostato un nuovo valore di temperatura (funzione gradino della temperatura impostata).
Nel fare questo ho risolto il problema con equazione differenziale alle derivate parziali, utilizzando la trasformata di Laplace (nel tempo) e ottenendo come risultato, conoscendo la funzione di trasferimento del regolatore e facendo uso dello schema blocchi, la funzione di trasferimento complessiva tra la trasformata del segnale di temperatura impostato e la trasformata della temperatura effettivamente presente nel tempo alla distanza x dall'estremo.
Ho considerato un controllore con questa funzione di trasferimento tra ingresso e uscita: $G_2(s)=P+sD+e_0$, dove P e D sono delle costanti e e0 l'errore presente all'istante iniziale (differenza tra temperatura misurata e quella impostata).
La funzione di trafserimento tra il segnale di potenza termica fornita all'estremo della barra e la temperatura misurata alla distanza x mi risulta invece: $G_1(s,x)=-1/sqrt(C_t rho c_p s)*e^(-sqrt(rho c_p/C_t s)x)$. Dove $rho$ è la densità lineare $c_p$ il calore specifico dela materiale e $C_t$ la conduttività della sezione.
Nel ricavare l'andamento nel tempo della temperatura misurata, mi ero posto questa strada: ricavare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione gradino (il segnale della temperatura impostata) in un intervallo, che comprende il gradino, ottenendo una somma di sinusoidi, che è possibile estendere all'esterno dell'intervallo in cui viene approssimato il segnale, su tutto l'asse reale; quindi ricavare l'uscita per ogni sinusoide e sfruttando la linearità del problema ricavare la soluzione.
Può essere a questo punto utilizzato nel ricavare la soluzione della risposta transitoria questo risultato, valido per il calcolo di risposte forzate in regime permanente e nel caso in cui il segnale in ingresso sia di tipo sinusoidale, così come si verifica essere anche l'uscita?
(in quell'esempio viene verificato che anche l'uscita è di tipo sinusoidale puro. Si tratta della risposta forzata in regime permanente di un sistema lineare stazionario)
