è periodico questo segnale...????

[ingtlc]

Si consideri il segnale $ a(t) = sum_(n=-oo )^(+oo ) b (t-nT) $


dove $ b(t) = 2 rect (2t/T)(1-(2|t|)/T) $


Stabilire se il segnale $ a(t) $ è periodico e in caso affermativo determinare il periodo e la serie di Fourier.

Un segnale è periodico quando $ x(t) = x(t+T) $ quindi nel mio caso deve risultare $ a(t) = a(t+T) $ per cui riscrivo la $ a(t) $ come

$ a(t) = sum_(n=-oo )^(+oo ) 2 rect ((2(t-nT))/T) (1-(2|t-nT|)/T) $

invece $ a(t+T) = sum_(n=-oo )^(+oo ) 2 rect ((2(t-nT+T))/T) (1-(2|t-nT+T|)/T) $



ok....ora se fino adesso non ho scritto solo cavolate....come continuo? ...eguaglio gli argomenti.... HELP

[K.Lomax]

Sarebbe più facile provando a disegnarlo

[ingtlc]

Sarebbe più facile provando a disegnarlo

Vorrei provare a risolverlo analiticamente ....ma proprio non ci riesco...mi son bloccato qui

[K.Lomax]

Beh magari puoi notare che \( \displaystyle -nT+T=-(n-1)T \) e facendo una sostituzione.......

[ingtlc]

Beh magari puoi notare che \( \displaystyle -nT+T=-(n-1)T \) e facendo una sostituzione.......

$a(t)=sum_(n = -oo)^(+oo) 2 rect((2(t-nT))/T)(1-(2|t-nT|)/T) $

$ a(t+T)=sum_(n = -oo)^(+oo) 2 rect((2(t-nT+T))/T)(1-(2|t-nT+T|)/T) $

$ -nT+T=-(n-1)T$

$ a(t+T) sum_(n = -oo)^(+oo) 2 rect ((2t-(n-1)T)/T)(1-(2|t-(n-1)T|)/T) $


quindi applicando la definizione di periodicità $ a(t) = a(t+T) $ risulterà

$ 2rect((2(t-nT))/T)(1-(2|t-nT|)/T) = 2 rect ((2t-(n-1)T)/T)(1-(2|t-(n-1)T|)/T) $

$ ((2(t-nT))/T)(1-(2|t-nT|)/T) = ((2t-(n-1)T)/T)(1-(2|t-(n-1)T|)/T) $

Lomax... HELP ora come me ne esco ????

1) i passaggi fin qui sono corretti?

2) nel caso non ho commesso errori fin qui, come continuo ?

[K.Lomax]

.......

$ a(t) = sum_(n=-oo )^(+oo ) 2 rect ((2(t-nT))/T) (1-(2|t-nT|)/T) $

invece $ a(t+T) = sum_(n=-oo )^(+oo ) 2 rect ((2(t-nT+T))/T) (1-(2|t-nT+T|)/T) $

.......

\( \displaystyle a(t)=a(t+T)\Rightarrow\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2\text{rect}\left(\frac{2(t-nT)}{T}\right)\left(1-\frac{2|t-nT|}{T}\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2\text{rect}\left(\frac{2(t-(n-1)T)}{T}\right)\left(1-\frac{2|t-(n-1)T|}{T}\right) \)

ponendo \( \displaystyle k=n-1 \) si ha

\( \displaystyle \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2\text{rect}\left(\frac{2(t-nT)}{T}\right)\left(1-\frac{2|t-nT|}{T}\right)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\text{rect}\left(\frac{2(t-kT)}{T}\right)\left(1-\frac{2|t-kT|}{T}\right) \)

Quindi l'eguaglianza è verificata.