da gugo82 » 05/12/2010, 22:42
Dipende da quanta teoria vuoi fare...
Ad esempio, già per dimostrare che \( \displaystyle \mathcal{F}[x] \) è in \( \displaystyle C_0(\mathbb{R}) \) (il cosiddetto lemma di Riemann-Lebesgue) già serve usare le proprietà fondamentali dell'integrale di Lebesgue (infatti quella del lemma è una tipica dimostrazione che si fa per approssimazione).
Ma poi, per trattare decentemente la trasformata di Fourier delle funzioni periodiche, addirittura serve un'infarinatura (quantomeno!) della Teoria delle Distribuzioni, che è comunque fondata sull'integrale di Lebesgue.
Per introdurre l'integrale di Lebesgue, volendo, si può anche fare a meno di introdurre "preventivamente" tutte le machinery di teoria della misura: in proposito consiglio il sintetico ma ottimo articolo di P. Lax, Rethinking the Lebesgue integral, apparso sul "the American Mathematical Monthly" del dicembre 2009.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)