[Teoria dei Sistemi]Calcolo guadagno con poli in zero

[Ronin]

Ciao a tutti, volevo chiedere un info,

Avengo una f.d.t. del genere

$G(s) = [s + 1] / [(s^2 + 3s + 2)]$

Basta che S = 0 e quindi

$G(0) = 1/2 = K$

Ma nel caso in cui io abba un polo in zero?

$G(s) = [s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]$

Un mio compagno mi ha detto che, basta annullare questo polo, ma vorrei sapere anche come e perché annullo queso polo.

Grazie anticipatamente.

[Ska]

Il guadagno del sistema è definito come il valore a cui tende l'uscita dato in ingresso uno scalino unitario. Grazie ai teoremi sul valore iniziale e finale, si può vedere che se esiste \( \displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty} y(t) \) allora questo è uguale a \( \displaystyle \lim_{s\rightarrow 0} sY(s) \) che nel caso descritto equivale a \( \displaystyle \lim_{s\rightarrow 0} G(s) \) .

Ora... nel caso ci sia un polo in zero, il guadagno sarà infinito, guardando il diagramma di bode del modulo per \( \displaystyle \omega\rightarrow 0 \Rightarrow |G(i\omega)| \rightarrow +\infty \) .

Se però volevi il guadagno della fdt, ovvero il \( \displaystyle \mu \) della forma generale di una fdt \( \displaystyle G(s) =\frac{\mu \prod_i (T_i s + 1)}{s^g \prod_j (T_j s +1)} \) , allora ti basta "eliminare il termine \( \displaystyle s^g \) e considerare il limite per \( \displaystyle s\rightarrow 0 \) ".

[Ronin]

Ok quindi se mi si chiede di, spiegare il calcolo del guadagno di una f.d.t.

$G(s) = [s + 1] / [(s^2 + 3s + 2)]$

Quello che dovrò dire sarà:

Sapendo che il guadagno è il valore a cui tende la funzione applicando in ingresso il gradino unitario,applicando il teorema del valore finale:

$lim_(s -> 0) sY(s)$

Dove:

$Y(s) = 1/s * G(s)

Il che ci ricondurrebbe a:

$lim_(s -> 0)G(s)$


Però ancora non ho capito quando

$G(s) = [s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]$


Che tradotto con tutto quanto su detto diverrebbe


$lim_(s -> 0)[s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]$

Che naturalmente è infinito... questo mi riconduce a

$lim_(s -> 0^+)[s + 1] / [s*(s^2 + 3s + 2)]$

???