Rumore bianco passabasso

[Andre@]

Sia $n(t,zeta)$ un segnale aleatorio stazionario la cui densità spettrale di potenza è $W_n(f)=eta*rect(f/(2f_m))$
L'autocorrelazione, $R_n(tau)$, è definita come l'antitrasformata della densità spettrale, cioè $int_-infty^(+infty)eta*e^(j2piftau)d tau$
poichè $W_n(f)=0$ al di fuori di $[-f_m,f_m]$, si ha: $R_n(tau)=int_(-f_m)^(+f_m)eta*e^(j2piftau)d tau=eta*1/(j2pif)[e^(j2piftau)]_(-f_m)^(+f_m)$

Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)

Ma mi sorgono dei dubbi:
Al punto in cui sono arrivato, devo andare ad applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, quindi sostituire dove c'è $tau$, $+f_m$ e poi $-f_m$ ($F(f_m)-F(-f_m)$)
come fa quindi a comparire nell'espressione finale ancora $tau$?
inoltre se gli estremi di integrazione li vado a sostituire ad $f$ e non a $tau$ (come pare faccia il libro), da dove gli spunta quel fattore $f_m$ che moltiplica $2eta$?

[Ska]

ovviamente l'integrale è fatto rispetto alla variabile $f$, dato che vuoi passare dal dominio delle frequenze a quello dei tempi!

[Andre@]

ovviamente l'integrale è fatto rispetto alla variabile $f$, dato che vuoi passare dal dominio delle frequenze a quello dei tempi!

Il libro integra in $d tau$, non solo in questo caso ma anche per calcolarsi l'autocorrelazione di un rumore bianco passabanda

[Ska]

Allora... se dici che l'autocorrelazione è l'antitrasformata di Fourier della densità spettrale \( \displaystyle W_X(f) \) , allora dovrò considerare l'antitrasformata del segnale \( \displaystyle W_X(f) \) che risulta essere \( \displaystyle \int_\mathbb{R} W_X(f) e^{j2\pi f \tau} df \) , giustamente $\tau$ è un parametro dato che voglio cambiare dominio rispetto a quello frequenziale, quindi l'integrare risulta essere fatto rispetto a \( \displaystyle f \) . Quindi nel caso specifico risulta \( \displaystyle R_X(\tau) = \int_\mathbb{R} W_X(f) e^{j2\pi f \tau} df = \int_{-f_m}^{f_m} \eta e^{j2\pi f\tau}df = \eta \left[\frac{e^{j2\pi f \tau}}{j2\pi\tau}\right ]_{-f_m}^{f_m} = \eta \left[\frac{e^{j2\pi f_m \tau} - e^{-j2\pi f_m \tau}}{j2\pi\tau}\right ] = 2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} = 2\eta sinc(2f_m\tau) \)

È chiaro che nel procedimento che hai riportato c'è qualcosa che non va, e banalmente secondo me è un "errore di stampa" quel \( \displaystyle d\tau \)

[Andre@]

Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)

[Ska]

Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)

Piccolo mio errore \( \displaystyle 2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} =2f_m\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau f_m} = 2f_m\eta sinc(2f_m\tau) \) , alle 3 di notte capita qualche svista...

[Andre@]

Il libro porta come risultato $R_n(tau)=2etaf_msinc(2f_mtau)

Piccolo mio errore \( \displaystyle 2\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau} =2f_m\eta \frac{sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi\tau f_m} = 2f_m\eta sinc(2f_m\tau) \) , alle 3 di notte capita qualche svista...

Ok grazie, neanche io ci avevo fatto caso. Quindi l'errore del libro è quel $d tau$