[Sistemi] Funzioni di trasferimento Open e Closed Loop

[Omen]

Salve ragazzi,
come da oggetto, ho un problema nel capire la differenza tra funzioni di trasferimento (FdT) Open Loop (OL) e Closed Loop (CL) in un sistema retroazionato. Nel caso più banale non ci dovrebbero essere problemi:

$ (O(s))/(I(s)) = (G(s))/(1+H(s)G(s)) = T(s) $

dove $ I(s) $ è l'input, $ O(s) $ l'output, $ H(s) $ il feedback, $ G(s) $ la FdT OL (cioè come se non ci fosse retroazione) ed infine la $ T(s) $ è la FdT a ciclo chiuso. Però, inserendo un controllo $ C(s) $ ed un disturbo $ U(s) $, le cose si complicano:

$ X(s) = (G(s))/(1+G(s)C(s)H(s))U(s) + (G(s)C(s))/(1+G(s)C(s)H(s))Xref(s) $

Considerando che $ X $ è l'uscita ed $ Xref $ (scusate, ma non sono riuscito a mettere il pedice) il comando, utilizzando per il resto la notazione precedente, questa relazione è giusta? Cioè, $ G(s) $ rappresenta la FdT OL? Io direi di si, ma sul mio materiale didattico trovo l'imposizione:

$ Tol(s) = C(s)G(s) $

con $ Tol(s) $ FdT OL. E così facendo si riconduce alle FdT CL riportata nella forma

$ (Tol(s))/(1+H(s)Tol(s)) = Tcl(s) $

PS: chiedo scusa, ma non sapevo come mettere i diagrammi

[kinder]

sarebbe utile che tu riportassi un disegno dello schema a blocchi del sistema.

Per i pedici, guarda qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[Omen]

Si, scusa, hai ragione: provvedo subito:

utilizzando la notazione riportata in quest'immagine:



il mio dubbio è: $ G_2 (s) $ è la funzione di trasferimento open loop (chiamiamola $ T_(OL) (s) $)? Perchè, sul mio materiale didattico è posto: $ T_(OL) (s) = G_1 (s)G_2 (s) $. Tale imposizione è poi sfruttata per ricondursi alla forma classica (ammesso $ H(s) = 1 $):

$ (Y(s))/(X(s)) = (T_(OL)(s))/(1+T_(OL)(s)) $

Ma al di là della semplice notazione, il mio dubbio riguarda proprio l'entità algebrica di queste funzioni. Mi spiego meglio: consideriamo ad esempio un sistema del secondo ordine del tipo $ ddot x (t) + 2zetaomega_ndot x (t) +omega_n^2 (t) = Bu(t) $ che, in condizioni iniziali nulle, nel dominio di Laplace diviene $ X(s) = B/(s^2 + 2zetaomega_ns+omega_n^2)U(s) $. Consideriamo anche un controllore PID del tipo $ G_1(s) = (K_P + sK_D + K_I/s)/B $ .

Ora, la $X(s)$ appena scritta corrisponde alla $G_2(s)$ della figura, giusto? Mentre la funzione di trasferimento OL è:
$ T_(OL)(s) = G_1(s)X(s)
ma allora mi sorge un dubbio: come si definisce la funzione di trasferimento open loop? Io la definivo come quella del ciclo non retroazionato, ma in questo caso si avrebbe che essa è proprio la $G_2(s) $ della figura, e non più la $ G_1(s)G_2(s) $ così come dice il mio materiale didattico.

Insomma, non so se ho reso il mio problema, spero solo che qualcuno lo abbia compreso

[kinder]

mi pare tu ti stia complicando la vita. Non ho capito i tuoi dubbi. Comunque, la FdT open loop la ottieni aprendo il loop (interrompendo il feedback). Se fai ciò, la FdT è $G_1(s)*G_2(s)$, se consideri ingresso e uscita rispettivamente $X(s)$ e $Y(s)$.
Da alcuni discorsi che hai fatto mi sembra tu non abbia capito cos'è la FdT. Questa è il rapporto tra uscita ed ingresso del sistema che stai considerando.
Nel caso tuo, se l'ingresso è $X(s)$ e l'uscita è $Y(s)$, allora la FdT relativa (OL) è $(Y(s))/(X(s))=G_1(s)*G_2(s)$.
Più in generale, dovrai considerare per definizione $FdT(s)=(U(s))/(I(s))$ con U e I uscita e ingresso. Poiché se metti in serie dei blocchi la FdT del sistema serie è il prodotto delle FdT dei singoli blocchi, allora avrai che se hai n blocchi in serie la FdT del sistema serie sarà $G_1(s)*G_2(s)*....*G_n(s)$

[Omen]

Grazie mille, finalmente inizio a districare il problema Diciamo che i miei dubbi nascevano da un abuso di notazione presente sui miei appunti, in cui veniva detta FdT OL dapprima la sola $G_2(s)$ della figura, ed il prodotto $G_1(s)G_2(s)$ poi. Altra complicanza nasceva dalla definizione di FdT come laplace trasformata della risposta all'impulso unitario, il che è meno immediato rispetto alla definizione da te postata.

Ma questo:

Comunque, la FdT open loop la ottieni aprendo il loop (interrompendo il feedback). Se fai ciò, la FdT è G1(s)⋅G2(s), se consideri ingresso e uscita rispettivamente X(s) e Y(s).

mi ha schiarito le idee, grazie.