trasformata di laplace del segnale

[mazzy89]

devo calcolarmi la trasforma di laplace di questo segnale



inizio e mi calcolo il primo pezzo

$y(t)=tu(t)-(t-3)u(t-3)$

ma mi blocco al calcolo del pezzo verticale

[gugo82]

Scusa mazzy89, non capisco.
Il tratto verticale è un salto... Non puoi rappresentarlo come funzione; devi solamente preoccuparti di buttare a zero la tua funzione dopo \( \displaystyle t=3 \) .

Tra \( \displaystyle -\infty \) e \( \displaystyle 3 \) la tua funzione \( \displaystyle y(t) \) è la somma della rampa "standard" \( \displaystyle t\ \text{u}(t) \) e della rampa ribaltata traslata \( \displaystyle (1-t)\ \text{u} (t-1) \) ; per far sì che \( \displaystyle y(t)=0 \) per \( \displaystyle t>3 \) devi semplicemente sommare il gradino ribaltato traslato \( \displaystyle -\text{u}(t-3) \) , quindi:

\( \displaystyle y(t)=t\ \text{u}(t) + (1-t)\ \text{u} (t-1) -\text{u}(t-3) \) .

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Un altro modo di verderla è che la tua funzione è la somma di \( \displaystyle t \) moltiplicato la porta \( \displaystyle \text{u}(t)-\text{u} (t-1) \) , più la porta \( \displaystyle \text{u}(t-1)-\text{u} (t-3) \) ; infatti facendo un po' di conti si vede che:

\( \displaystyle y(t)=t\ [\text{u}(t)-\text{u} (t-1)]+[\text{u}(t-1)-\text{u} (t-3)] \)

coincide con la funzione determinata in precedenza.

Quindi la trasformata di Laplace è:

\( \displaystyle Y(s):=\int_{-\infty}^{+\infty} y(t)\ e^{-st}\ \text{d} t=\int_0^1 t\ e^{-st}\ \text{d} t +\int_1^3 e^{-st}\ \text{d} t \)

e si calcola con tecniche standard (integrazione per parti, tra l'altro); oppure puoi ricondurti alle trasformate notevoli:

\( \displaystyle Y(s)=\mathcal{L} \big[t\ \text{u}(t) \big](s)-\mathcal{L} \big[(t-1)\ \text{u}(t-1) \big](s) -\mathcal{L} \big[\text{u}(t-3) \big](s) \) ...

[mazzy89]

Scusa mazzy89, non capisco.
Il tratto verticale è un salto... Non puoi rappresentarlo come funzione; devi solamente preoccuparti di buttare a zero la tua funzione dopo \( \displaystyle t=3 \) .

Tra \( \displaystyle -\infty \) e \( \displaystyle 3 \) la tua funzione \( \displaystyle y(t) \) è la somma della rampa "standard" \( \displaystyle t\ \text{u}(t) \) e della rampa ribaltata traslata \( \displaystyle (1-t)\ \text{u} (t-1) \) ; per far sì che \( \displaystyle y(t)=0 \) per \( \displaystyle t>3 \) devi semplicemente sommare il gradino ribaltato traslato \( \displaystyle -\text{u}(t-3) \) , quindi:

\( \displaystyle y(t)=t\ \text{u}(t) + (1-t)\ \text{u} (t-1) -\text{u}(t-3) \) .

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Un altro modo di verderla è che la tua funzione è la somma di \( \displaystyle t \) moltiplicato la porta \( \displaystyle \text{u}(t)-\text{u} (t-1) \) , più la porta \( \displaystyle \text{u}(t-1)-\text{u} (t-3) \) ; infatti facendo un po' di conti si vede che:

\( \displaystyle y(t)=t\ [\text{u}(t)-\text{u} (t-1)]+[\text{u}(t-1)-\text{u} (t-3)] \)

coincide con la funzione determinata in precedenza.

Quindi la trasformata di Laplace è:

\( \displaystyle Y(s):=\int_{-\infty}^{+\infty} y(t)\ e^{-st}\ \text{d} t=\int_0^1 t\ e^{-st}\ \text{d} t +\int_1^3 e^{-st}\ \text{d} t \)

e si calcola con tecniche standard (integrazione per parti, tra l'altro); oppure puoi ricondurti alle trasformate notevoli:

\( \displaystyle Y(s)=\mathcal{L} \big[t\ \text{u}(t) \big](s)-\mathcal{L} \big[(t-1)\ \text{u}(t-1) \big](s) -\mathcal{L} \big[\text{u}(t-3) \big](s) \) ...

ah ok adesso vedendola tutta completa mi è più chiara.la parte che scende in verticale non si considera poi per il secondo pezzo hai coniderato la rampa ribalta e traslata questo perché l'hai disegnata al completo la funzione nel grafico.io partivo da $0$ quindi non me ne rendevo conto.grazie di tutto gugo82 mi hai estirpato un bel dubbio