TRASFORMATA FOURIER $(sint)^9 $ con $ t in [-pi,pi]$

[dharma]

salve a tutti. avrei qualche dubbio su questo esercizio

determinare serie e trasformata di fourier del prolungamento $2pi$-periodico di
$ x_(0)(t)= t^2-pi^2+(sint)^9 $ con $ t in [-pi,pi]$

io ho pensato di risolvere in questo modo
$ x_(0)(t)= t^2-pi^2+(sint)^9 $ con $ t in [-pi,pi]$ diventa
$ x_(0)(t)= (t^2-pi^2+(sint)^9)[u(t+pi) - u(t-pi)] $ cioè $x_(0)(t)=x_(1)(t)+x_(2)(t)$
$x_(1)(t)=(t^2-pi^2)[u(t+pi) - u(t-pi)]$ e
$x_(2)(t)=(sint)^9[u(t+pi) - u(t-pi)]$

$x_(1)$ può essere calcolato in diversi modi: con derivate distribuzionali, utilizzando la definizione di trasformata,oppure applicando la proprietà di derivata seconda alla trasformata della finestra rettangolare, ecc.. e OK!
ma come si calcola la trasformata di $x_(2)$? dovrei trasformare $sint$ in $(e^(jt)-e^(-jt))/(2j)$? e poi come elevo alla 9??

[Ska]

Potresti usare la formula del binonio di Newton sul binomio $e^{jt} - e^{-jt}$ o anche usare il triangolo di tartaglia per calcolarsi i coefficienti dello sviluppo della potenza nona. Al momento non mi vengono in mente altri metodi...

[dharma]

non credo sia la soluzione giusta, anche perchè è un esercizio di un esame! forse sviluppando una differenza di cubi cioè
$((e^(jt)-e^(-jt))^3)^3$
tipo fare così
$((e^(jt)-e^(-jt))^3)^3= [(e^(3jt)-3e^(jt) +3e^(-jt)-e^(-3jt)]^3$ ma poi come sviluppo nuovamente il cubo?

[elgiovo]

Si, ti conviene usare il binomio di Newton: in generale vale che

\( \displaystyle \sin^n(t)=\frac{2}{2^n}\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{\left(\frac{n-1}{2}-k\right)} \binom{n}{k}\sin\left((n-2k)t\right) \)

la cui trasformata è immediata.

[Ska]

Quello che avevo proposto era esattamente il metodo per calcolarsi $(e^{jt} - e^{-jt})^9$, ci vogliono pochi conti per calcolarsi i coefficienti della potenza nona di un binomio che sono $(1,9,36,84,126,126,84,36,9,1)$, A questo punto avrai

$(e^{jt} - e^{-jt})^9 = 1 e^{j9t} + 9 e^{j8t} (-e^{-jt}) + 36 e^{j7t} e^{-j2t} + 84 e^{j6t} (-e^{-j3t}) + 126 e^{j5t} e^{-j4t} + 126 e^{j4t} (-e^{-j5t}) + 84 e^{j3t} e^{-j6t} + 36 e^{j2t}(-e^{-j7t}) + 9 e^{jt} e^{-j8t} - e^{-j9t} = 2j(sin(9t) - 9sin(7t) + 36 sin(5t) - 84 sin(3t) + 126 sin(t))$

[dharma]

Si è davvero la soluzione piu immediata! le trasformazioni successive poi del seno e coseno sono praticamente immediate
grazie mille