[Elaborazione numerica dei segnali] Campionamento di sin(..)

[hastings]

Salve a tutti,
Avrei bisogno di una mano con il seguente esercizietto.

Un segnale tempo continuo y(t) avente il seguente andamento
\( \displaystyle y(t)=\left\{
\begin{array}{l l}
sin(2 \pi t ) &\; -1 \leq t \leq 1\\
0 &\; \text{ altrove } \end{array}\right. \)
è campionato ogni T=0.1 s
Calcolare lo spettro di Fourier della sequenza \( \displaystyle y(n)=y(nT) \)

Ora, il suggerimento che mi è stato dato dal prof. è che innanzitutto tocca disegnarlo, perché in realtà y(t) è:
\( \displaystyle y(t)=\sin(2\pi t) \text{rect}_2(t) \) ; è poi conveniente lavorare in frequenza e fare la convoluzione giacché nel tempo abbiamo un prodotto.
Ho disegnato il \( \displaystyle sin(2\pi t) \) tra -1 e 1 costruendo una tabellina di \( \displaystyle sin(2\pi t) \) per \( \displaystyle t=0,\frac{1}{4}, \frac{1}{2},\frac{3}{4}, 1 \) . Così so che la funzione è nulla in t=0, vale 1 in t=1/4, nulla in t=1/2, vale -1 in t=3/4 ed è nulla in 1. Disegno specularmente, per t<0 (fino a -1, non oltre). Quello che non so fare è il campionamento del rect(t).
So che esistono 2 "boxcar"
1) bilatera simmetrica \( \displaystyle x(n)=\text{rectb}_M(n) \) che vale 1 per \( \displaystyle |n|\leq \dfrac{M}{2} \) e nullo per \( \displaystyle |n|\geq \dfrac{M}{2} \) ; è valida solo se M è pari!!
2) Monolatera causale \( \displaystyle x(n)=\text{rect}_N(n) \) che vale 1 per \( \displaystyle 0\leq n < N \) e nulla altrove
Siccome ho a che fare con un rect(t) centrato nell'origine (e su indicazione del prof.) scelgo la bilatera simmetrica. Qui è il problema: quanto vale M?
Ho pensato che siccome \( \displaystyle T=\dfrac{1}{10} \, s=0.1 \, s \) ci sono 10 impulsi da -1 a 0, e 10 impulsi da 0 a 1, quindi (10+10 -1)=19 (ho tolto 1 impulso dato che quello in zero è stato contato 2 volte). Ma M dovrebbe essere pari!! Come faccio? Il prof. dice che sono 20 impulsi. Perché? Lui continua a dire "provi a disegnarlo, vedrà che viene". Beh, ho provato, ne vengono 21 di impulsi! Non capisco.

E poi, che devo fare una volta trovato \( \displaystyle y_S(t) \) , versione impulsata di y(t)? Come faccio la sua trasf. di Fourier \( \displaystyle Y_S(f) \) ?
\( \displaystyle y_S(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}x(nT)\delta(t-nT)=\displaystyle \sum_{n=-1}^{n=1}sin(2\pi nT)\delta(t -nT)\:\text{ con }T=\dfrac{1}{10} \)
È giusto così? Occorre fare qualche correzione? La trasf.di Fourier è in \( \displaystyle \Omega \) , \( \displaystyle \omega \) oppure \( \displaystyle f \) ?

[hastings]

qualche idea per questo esercizio?
Se devo trovare la trasformata di fourier devo calcolare \( \displaystyle X(\Omega) \) oppure \( \displaystyle X(f) \) ?
Come faccio a decidere di quanti impulsi è fatto il rect( ) impulsato? 20 o 21?

[Ska]

Io considererei tutti i campioni da \( \displaystyle -1 \) a \( \displaystyle 1 \) compresi, quindi con \( \displaystyle -10 \le n \le 10 \) cioè \( \displaystyle 21 \) campioni.

Per calcolare poi la trasformata di Fourier della sequenza, applicherei la proprietà della DTFT del prodotto di due sequenze, quindi \( \displaystyle x[n]y[n] \xrightarrow{DTFT} X(f) \star Y(f) \) .

Quindi nel tuo caso sarebbe \( \displaystyle x[n] = \sin(2\pi \frac{n}{10}) \) e \( \displaystyle y[n] = rect_{21}(n+10) \) da cui \( \displaystyle Y(f) = \frac{\sin(\pi f 21)}{\sin(\pi f)} \) e \( \displaystyle X(f) = \frac{1}{2j}(\delta(f- \frac{1}{10}) - \delta(f+ \frac{1}{10})) \)


La trasformata se farla in \( \displaystyle \omega \) o \( \displaystyle f \) , non cambia la sostanza, dipende da cosa si vuole usare, se le frequenze o le pulsazioni normalizzate.

[hastings]

Ska ti ringrazio tantissimo del tuo intervento.
Supponiamo che voglia la trasf. di Fourier nel dominio delle pulsazioni normalizzate \( \displaystyle \omega \) . Come sono le singole trasformate del seno e del rect()?

Aiutandomi con gli appunti, vedo che:
\( \displaystyle \mathcal{F}\{rect_{21}(n +10) \}= \frac{\sin 21\frac{\omega}{2}}{sin \frac{\omega}{2}}\cdot e^{j\omega \frac{21-1}{2}} \cdot e^{j10} \)
e poi
\( \displaystyle \mathcal{F}\{ \sin(2\pi \frac{n}{10})\}= \mathcal{F}\{ \frac{1}{2j}(e^{-j \frac{2\pi}{10}n}-e^{-j \frac{2\pi}{10}n}) \}=\frac{1}{2j}\sum_m 2\pi\delta(\omega -\frac{2\pi}{10} -m2\pi)-\frac{1}{2j}\sum_m 2\pi\delta(\omega +\frac{2\pi}{5} -m2\pi) \)

Sono corrette le due trasformate in \( \displaystyle \omega \) ?
Nella prima trasf. come si esprime l'anticipo a n=-10? C'è un fattore \( \displaystyle e^{j\omega _0}\bigg|_{\omega _0 = 10} \) ? E soprattutto si può anticipare la monolatera causale a n=-10 oppure è sempre \( \displaystyle rect_N(n)\begin{cases}1 & 0\leq n \leq N\\ 0 & \text{ altrove}\end{cases} \) ?
Nella seconda trasformata, trattasi della trasformata di due armoniche complesse, \( \displaystyle \mathcal{F}\{Ae^{j(\omega _0 n +\phi)} \} \) giusto? E "m" in che intervallo varia?
Com'è la loro convoluzione?

[Ska]

Allora la trasformata del \( \displaystyle rect \) non mi torna, infatti, dato che \( \displaystyle \omega = 2\pi f \) , dovrebbe essere semplicemente \( \displaystyle \mathcal{F}\{rect_{21}(n + 10)\}(\omega) = \frac{\sin(\frac{\omega}{2}21)}{\sin(\frac{\omega}{2})} \)
dato che la proprietà di traslazione è \( \displaystyle x[n - n_0] \xrightarrow{DTFT} X(\omega) e^{-j\omega n_0} \)

Per quanto riguarda la sinusoide, tu hai esplicitato il fatto che la DTFT è periodica di periodo \( \displaystyle 2\pi \) nel dominio delle pulsazioni. Cmq nell'intervallo \( \displaystyle [-\pi,\pi] \) si ha \( \displaystyle \mathcal{F}\{\sin(2\pi \frac{n}{10})\} = \frac{\pi}{j} (\delta(\omega - \frac{2\pi}{10}) - \delta(\omega + \frac{2\pi}{10})) \) , di cui bisogna considerare l'estensione periodica di periodo \( \displaystyle 2\pi \) appunto.

Attento che \( \displaystyle rect_N(n) = \begin{cases}1 \qquad 0\le n \le N-1\\0 \qquad altrove\end{cases} \) , quindi \( \displaystyle rect_N(n - n_0) = \begin{cases}1 \qquad n_0\le n \le N-1 + n_0\\0 \qquad altrove\end{cases} \) .


La proprietà del prodotto di due sequenze nel dominio delle pulsazioni diventa \( \displaystyle \mathcal{F}\{x[n]y[n]\} = \frac{1}{2\pi} X(\omega)\star Y(\omega) \) . Nel caso da te proposto risulta facile poichè si ha una convoluzione con delle delta di Dirac: \( \displaystyle x(t) \star \delta(t- t_0) = x(t-t_0) \)

[hastings]

Allora la trasformata del \( \displaystyle rect \) non mi torna, infatti, dato che \( \displaystyle \omega = 2\pi f \) , dovrebbe essere semplicemente \( \displaystyle \mathcal{F}\{rect_{21}(n + 10)\}(\omega) = \frac{\sin(\frac{\omega}{2}21)}{\sin(\frac{\omega}{2})} \)
dato che la proprietà di traslazione è \( \displaystyle x[n - n_0] \xrightarrow{DTFT} X(\omega) e^{-j\omega n_0} \)

Ma tu sei proprio sicuro di questa cosa? Io ho l'ultima versione delle dispense del prof. e cmq so che lui, ogni tanto, fa degli errori. Non sono sicura che quello sulle dispense sia accurato al 100%. Il problema è all'esame, se gli scrivo una castroneria si mette male tutto quanto. Quindi sei sicuro?

Per quanto riguarda la sinusoide, tu hai esplicitato il fatto che la DTFT è periodica di periodo \( \displaystyle 2\pi \) nel dominio delle pulsazioni. Cmq nell'intervallo \( \displaystyle [-\pi,\pi] \) si ha \( \displaystyle \mathcal{F}\{\sin(2\pi \frac{n}{10})\} = \frac{\pi}{j} (\delta(\omega - \frac{2\pi}{10}) - \delta(\omega + \frac{2\pi}{10})) \) , di cui bisogna considerare l'estensione periodica di periodo \( \displaystyle 2\pi \) appunto.

Attento che \( \displaystyle rect_N(n) = \begin{cases}1 \qquad 0\le n \le N-1\\0 \qquad altrove\end{cases} \) , quindi \( \displaystyle rect_N(n - n_0) = \begin{cases}1 \qquad n_0\le n \le N-1 + n_0\\0 \qquad altrove\end{cases} \) .


La proprietà del prodotto di due sequenze nel dominio delle pulsazioni diventa \( \displaystyle \mathcal{F}\{x[n]y[n]\} = \frac{1}{2\pi} X(\omega)\star Y(\omega) \) . Nel caso da te proposto risulta facile poichè si ha una convoluzione con delle delta di Dirac: \( \displaystyle x(t) \star \delta(t- t_0) = x(t-t_0) \)

si, adesso mi è più chiara la cosa: bisogna limitarsi all'intervallo principale $[-\pi, \pi]$ (questo lo ripete spesso pure il prof), poi viene anche la convoluzione dato che si tratta di 2 delta di Dirac. Nel caso del rect(---), avevo sbagliato a mettere il segno $<= N$, doveva essere $<N$ oppure come hai scritto tu $<= N-1$.

[hastings]

Non c'è in giro (sulla rete) una dispensina con la lista di tutte le trasformate di F. delle più note sequenze (il sinc(---), le armoniche complesse, reali e i 2 tipi di boxcar)?

[Ska]

Si tratta di una banale dimostrazione ponendo nella sommatoria \( \displaystyle m=n-n_0 \) :

\( \displaystyle \mathcal{F}\{x[n-n_0]\}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n - n_0] e^{-j\omega n} = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] e^{-j \omega (m+n_0)} = e^{-j\omega n_0} \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] e^{-j\omega m} = e^{-j\omega n_0} X(\omega) \)

[hastings]

No, aspetta mi riferivo alla trasf. di F. del $rect_N(n)$ che secondo i miei appunti sarebbe $\mathcal{F}[ rect_N(n) ]=(\sin(N \omega/2) )/(\sin(\omega/2)) \cdot e^{-j (N-1)/2 \omega}$
Nel nostro caso:
\( \displaystyle \mathcal{F}\{rect_{21}(n +10) \}= \frac{\sin 21\frac{\omega}{2}}{sin \frac{\omega}{2}}\cdot e^{-j\omega \frac{21-1}{2}} \cdot e^{j10\omega}= \frac{\sin 21\frac{\omega}{2}}{sin \frac{\omega}{2}}\cdot e^{-j10 \omega } \cdot e^{j 10\omega}= \) \( \displaystyle \frac{\sin 21\frac{\omega}{2}}{sin \frac{\omega}{2}} \)

Ma quindi, quand'è che devo usare $rect_M(n)={ ( 1 ,|n|<= |M/2|),( 0 , |n|>= |M/2| ):} $? Solo se M è pari? Invece questo
$rect_N(n) = { ( 1 , 0<=n<=N-1 ) , ( 0 , \mbox{altrove} ):}$ è valido sia per N pari che per N dispari? Basta che sia una monolatera causale e non sia un rect() simmetrico, centrato in 0?

PS. Dopo aver rifatto i calcoli varie volte devo dire che in fondo la trasf. di F. del rect() è come avevi scritto tu nel tuo 1° post.

[hastings]

Mi sa che il prof. si è sbagliato a contare gli impulsi del rect() perché continuava a dire che erano 20. Invece per verifica grafica sono 21! Non si può pertanto usare la $ rect_M(n)$ perché quella è valida solo se M è pari. O mi sbaglio?