da gugo82 » 05/02/2011, 20:28
Ma si poteva procedere anche così.
Il numeratore ha un unico zero d'ordine uno in \( \displaystyle 0 \) , mentre il denominatore si annulla in tutti i punti del tipo \( \displaystyle 2k\pi \jmath \) , con \( \displaystyle k\in \mathbb{Z} \) , che sono zeri d'ordine uno (difatti \( \displaystyle (e^z-1)^\prime \big|_{z=2k\pi \jmath} = e^z\big|_{z=2k\pi\jmath} =1\neq 0 \) ); conseguentemente la funzione assegnata presenta una singolarità eliminabile in \( \displaystyle 0 \) (perchè l'ordine di \( \displaystyle 0 \) come zero del denominatore è totalmente compensato dall'ordine di \( \displaystyle 0 \) come zero del numeratore) e poli semplici nei punti \( \displaystyle 2k\pi \jmath \) con \( \displaystyle k\neq 0 \) (perchè il loro ordine come zeri del denominatore non è compensato da alcunché, visto che tali punti non annullano il numeratore).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)