[RISOLTO][Elab. Num. dei Segn.] Risposta impulsiva di H(z)?

[hastings]

Salve a tutti,
Qualcuno può aiutarmi a risolvere correttamente il seguente esercizio?

Dato $H(z)=(1-z^{-1}) /(1- 1.8/ \sqrt{2}z^{-1}+0.81z^{-1})$
Calcolare la risposta impulsiva del sistema (stabile).

Io mi son calcolata i poli di H(z) che sono 2 poli complessi coniugati:
$z_1=0.9/\sqrt{2}+j0.9/\sqrt{2}$ e $z_2=0.9/\sqrt{2}-j0.9/\sqrt{2}$.

La ROC (regione di convergenza) affinché il sist. sia stabile, deve comprendere il cerchio di raggio unitario. Dunque $|z|>|z_1|=|z_2|=|0.9|$. È giusto fin qui?
Dunque verrebbe da dire che la risposta impulsiva è $h(n)= (0.9)^n\ cdot u(n)$. Ma c'è lo zero di H(z) in z=1. Come devo procedere?ris

[Ska]

Non ricordo si procedesse così....

Per quanto riguarda i poli va bene...., ma la risposta all'impulso secondo me non si calcola così.

Io avrei proceduto scomponendo in fratti semplici la \( \displaystyle H(z) = \frac{A}{1-z_1 z^{-1}} + \frac{B}{1 - z_1^* z^{-1}} \) , in questo caso risulta \( \displaystyle B=A^* \) poichè gli zeri sono complessi coniugati.

Quindi antitrasformando si ottiene \( \displaystyle h(n) = A z_1^n u(n) + A^* (z_1^*)^n u(n) = 2 |A| |z_1|^n cos(n \angle z_1 + \angle A) u(n) \)

[hastings]

Diamine! Hai ragione! é tutta la serata che ci giro intorno!
Grazie mille!
Ma questa regola si applica quando i poli sono distinti, giusto? Anche quando al numeratore di H(z) c'è 1 anziché uno zero?

[Ska]

No anche con poli con molteplicità maggiore di uno, la decomposizione è un po' più laboriosa. Ovviamente questa si fa quando il grado del numeratore è minore di quello del denominatore, altrimenti prima si compie la divisione.

[hastings]

E se devo disegnare in modo qualitativo, (senza troppo lavorarci su), l'andamento del modulo della risposta armonica $|H(e^{j\omega})|$?
So che il diagramma presenterà dei picchi in corrispondenza delle fase dei poli, degli avvallamenti in corrisp. delle fase degli zeri (qui in $z_0=1$). Come trovo la fase di $z_0$, $z_1$, $z_2$? Il diagramma lo rappresento nel dominio degli $\omega$, pertanto pensavo $\angle z_0= \arctg(( \Im{z_0}) / (\Re{z_0}) )= \arctg( 0/1)=0$, è così?
E poi:

$\angle z_1=\arctg(1)=\pi /4$

$\angle z_2=\arctg(-1)=- \pi /4$

in un diagramma tra $[-\pi, \pi]$

[Ska]

Sì mi sembra ok il ragionamento, ti consiglio poi di trovarti i valori di \( \displaystyle |H(e^{j\omega})| \) in \( \displaystyle \omega=\pm \frac{\pi}{4} \) per avere i picchi in corrispondenza dei poli.

[hastings]

Per trovare i picchi in corrisp. dei poli, devo calcolarmi i valori di $|H(e^{\pm j \pi/4 })|$, no?
Invece, a proposito di H(z) scomposto in fratti semplici, per trovare A e B=A* devo in sostanza calcolarmi

$A= [ (1-z^{-1}) / (1-z_2 \cdot z^{-1})]_{z=z_1=0.9/ \sqrt{2} (1+j)}$

$B=bar(A)= [ (1-z^{-1}) / (1-z_1 z^{-1})]_{z=z_2=0.9/ \sqrt{2} (1-j)}$

E' così?

[Ska]

Sì esatto

[hastings]

Grazie mille.
Segnalo il thread "RISOLTO"