dimostrazione diagramma di nyquist sistema del primo ordine

[francalanci]

il problema è il seguente dimostrare che un sistema che ha una funzione di trasferimento $g(jomega)=k/(1+tau*jomega)$ il suo diagramma di nyquist è una curva che forma una semicirconferenza.La prima cosa che ho fatto è di moltiplicare a numeratore e a denominatore per $1-jtau*omega$ il coniugato e mi trovo $G(jomega)=(k-jk*tau*omega)/(1+(tau*omega)^2)$ mi calcolo il modulo, fatti tutti i conti doverebbe venire cosi $|G(jomega)|=k/(1+tau*omega)^2* sqrt(1+tau^2*omega^2)$ .
La fase mi viene $ phi =arctg(-tau*omega)$ quindi riscrivo il numero complesso con la formula di eulero e viene $|G(jomega)|*e^(-jphi)=|G(jomega)|(cos(phi)-jsin(phi))$ dove $-pi/2<=phi<=0$ e dovrebbe venire propio la semicirconferenza che cercavamo ,spero che la domanda fosse chiara e anche il procedimento.

[K.Lomax]

Non mi sembra che abbiamo dimostrato nulla.
La domanda che dovresti porti è: cosa deve accadere perchè quella funzione, al variare di \( \displaystyle \omega \) , risulti una semicirconferenza?

[francalanci]

Il diagramma di Nyquist di $G(jomega)$ è la curva parametrica $X(omega)=Re[G(jomega)]$ e $Y(omega)=Im[G(jomega)]$ allora nel mio esercizio rappresento la parte reale come $X(omega)=k/(1+tau^2omega^2)*sqrt(1+tau^2omega^2)cos(arctg(-tau*omega))$ e $Y(omega)=-k/(1+tau^2omega^2)*sqrt(1+tau^2omega^2)sen(arctg(-tau*omega)$ ora se fai variare $omega$ mi sembra più che plausibile che questa sia propio la parametrizzazione della semicirconferenza che stavamo cercando.

[K.Lomax]

Plausibile non equivale a dimostrato.

Per essere una circonferenza deve accadere che:

\( \displaystyle \text{Re}^2\{G(j\omega)\}+\text{Im}^2\{G(j\omega)\}=\text{costante} \)

ovvero

\( \displaystyle |G(j\omega)|^2=\text{costante} \)

al variare di \( \displaystyle \omega \) . Inoltre, c'è un errore nel calcolo del modulo.

[francalanci]

quindi devo riuscire a dimostrare che $(k/(1+(tau*omega)^2))^2 +(-ktauomega/(1+(tau*omega)^2))^2=costante$ al variare di $omega$ giusto?

[K.Lomax]

Si, vedi se riesci e fai le dovute considerazioni. Poi prova effettivamente a disegnare il diagramma di Nyquist, magari partendo da quello di Bode.