Domande automatica... ricerca teoria

[Expboy]

Ciao a tuttti ragazzi... siccome sul mio libro di fondamenti di automatica non vengono trattati bene questi argomenti volevo chiedervi se avevate appunti decenti presi da altri siti o da qualsiasi altra parte riguardo a come disegnare:


1) Le traiettorie libere delle variabili di stato di un sistema (del secondo ordine) con tutti i vari casi (autovalori reali distinti positivi, complessi coniugati ecc...)

2) I diagrammi polari-Nyquist e soprattutto capire le proprietà del sistema guardando solo quelli come valore a cui tende la risposta allo scalino, valore da cui parte, ecc...


Scusate se scrivo un post del genere ma cercando sul web non ho trovato nulla di soddisfacentemente completo e chiaro!!!

Spero magari voi abbiate qualcosa!!!


Grazie mille!!!

[cyd]

il primo punto si riconduce a conoscere 4 o 5 modi, alla fine una risposta o l'evoluzione dello stato è una combinazione lineare di questi. lo saprai come evolve un'esponenziale nel tempo no?

per i diagrammi polari non c'è moltissimo materiale, ma qualcosa anche in inglese tro cercando su google.

[Expboy]

certo che lo so come evolve un esponenziale nel tempo ma se ad esempio siamo in ambito complesso? ad esempio quando hai autovalori complessi coniugati con parte reale positiva/negativa/nulla?

Non dirmi che devo applicare Eulero che lo so che alla fine si arriva ad un andamento sinusoidale ma non so come rappresentare il tutto graficamente!!!

Altra domanda lampo: se ho una matrice della dinamica non diagonale, il movimento è sempre la combinazione lineare dei modi giusto? E i coefficienti di questa combinazione lineare sono gli stati iniziali di ogni singolo stato giusto? Cioè se i modi sono ad esempio:

$e^(-5t), e^(-t)$ e le condizioni iniziali sono $x_1(0) = 3, x_2(0) = -1$ allora il movimento libero è: $x_l=3e^(-5t)-e^(-t)$

O sbaglio qualcosa?

Grazie!

[cyd]

beh se siamo nel caso complesso verrà fuori un comportamento oscillatorio, in particolare convergente (cioè una sinusoide smorzata) divergente o con ampiezza costante a seconda che la parte reale del rispettivo autovalore sia negativa, nulla o positiva, poi nel caso di poli doppi ci saranno modi un pelo piu complicati ma sempre quelli sono.

graficamente nel dominio del tempo è una sinusoide (smorzata) nulla di complesso, nel dominio della frequenza fai il diagramma di bode e sei a posto.

se consideri solo il moto libero allora quello vale per una matrice dinamica diagonale. se hai una matrica A non diagonale
o la diagonalizzi, creando cosi una rappresentazione equivalente dello stesso sistema (l'uscita sarà la stessa! cio che cambia è la rappresentazione interna cioè dello stato che dai del sistema) oppure te la tieni cosi e in questo caso continua ad essere una combinazione lineare dei modi, ma non piu semplice come nel caso diagonale bensi mista, cioè

dat A $A= ( (a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22)) )$ e $x(0) = (x_(01), x_(02))$

allora nel caso generale hai

$( (x_1(t)),(x_2(t)) ) = ( (a_(11) , a_(12)), (a_(21) , a_(22)) ) * ((x_(01)), (x_(02)))$

cioè ${ ( x_1(t) = a_(11)* x_(01) + a_(12)* x_(02)),( x_2(t) = a_(21)* x_(01) + a_(22)* x_(02) ):}$

infatti nel caso diagonale a_12=a_21 = 0 e ti riconduci al caso di prima.