da Kroldar » 16/03/2007, 01:00
Non ho fatto granché in merito, il mio professore ha solo accennato a queste cose. L'unica cosa che posso dirti è che in ambito distribuzionale la seconda formula fondamentale per la trasformata di Laplace (quella che dà la trasformata unilatera della derivata) è diversa dalla formula classica per le funzioni assolutamente continue. Se restringiamo la nostra attenzione alla trasformata unilatera, detta $x$ una generica distribuzione nulla in $]-oo,0[$, risulta
$L_u[x'] = sX(s)$
ed è chiaro come in questa formula non si tenga conto di eventuali valori di $x$ in $0$. A rigore di logica è chiaro... anzi, sarebbe strano se ti tentasse di assegnare un valore a una distribuzione in un punto!! Infatti l'abitudine ormai comune di indicare le distribuzioni con la notazione propria delle funzioni ordinare (ad esempio $delta(t)$) è in realtà un abuso di notazione... abuso giustificato dal fatto che le distribuzioni regolari (quindi non la delta) sono effettivamente funzioni ordinarie; tuttavia occorre avere chiaro che le distribuzioni non sono funzioni ordinarie, ma oggetti esoterici che non possono esistere da soli, mentre assumono significato quando si specifica la funzione test su cui essere operano.
Tornando ai problemi di Cauchy, occorre ricordare che la trasformazione unilatera di Laplace in ambito distribuzionale è ancora iniettiva.
Alla luce di quanto detto, si può considerare il problema di Cauchy
$D[y] = delta(t)$ con $y$ distribuzione nulla in $]-oo,0[$ e $D$ operatore differenziale lineare a coefficienti costanti
e dare un senso a quella che nel calcolo della risposta per sistemi lineari stazionari è nota come la celeberrima "risposta impulsiva".
Ho un po' allargato il discorso ma è tutto quello che so.
