Esercizio su risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi

Messaggioda alexmazz » 15/09/2019, 19:22

Salve a tutti, ho un dubbio su due esercizi:

1)Si consideri il sistema lineare $AX = B$. Indicando con $CJ$ la matrice di iterazione del metodo
di Jacobi costruito per il sistema dato, stabilire per quali valori del
parametro reale ! il seguente procedimento iterativo
$X^(k+1) = (1 - omega)X^(k) +CJX^(k)$
sicuramente converge in norma infinito alla soluzione del sistema,
quando $A$ è a diagonale dominante.

Io ho pensato a procedere così:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
ho raccolto $X^k$ in modo da ottenere la matrice di iterazione $L=(1 - omega)I +CJ$. Ho quindi $||L||_(oo)<1$. Poiché $A$ è diagonalmente dominante sono sicuro che la sua norma infinita è minore di uno, mentre quella di $I$ è pari a uno. Allora per la disuguaglianza triangolare ho $||(1 - omega)I +CJ||_oo< (|1-omega|+|omega|*||CJ||_(oo))<1$
Arrivato a questo punto, se quello che ho fatto è corretto, cosa altro posso fare oltre a dire che deve essere verificata l'ultima disugualgianza?


2)Si consideri il sistema lineare AX = B e il seguente procedimento iterativo dipendente dal parametro reale $omega$ $X^(k+1) = omegaX^(k) +(1-omega)(C_(GS)X^(k) +Q_(GS))$
con $C_(GS)$ e $Q_(GS)$ rispettivamente la matrice di iterazione e il termine noto del metodo di Gauss-Seidel costruito per un sistema dato. Stabilire se esistono valori del parametro reale $omega$ per cui il procedimento iterativo converge alla soluzione del sistema dato per ogni scelta dell'approssimazione iniziale X(0).

Per il primo esercizio vorrei sapere se quello che ho fatto è corretto, mentre per il secondo ho difficoltà proprio a impostare la soluzione.
Vi ringrazio in anticipo :)
alexmazz
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