Vado a memoria, perché non me lo sono scritto da nessuna parte.
Nella versione proposta da me i numeri erano scelti differenti nell'intervallo \( [0,100] \). Vi sono altre versioni dove il numero può essere scelto su \( \mathbb{R} \) e il ragionamento è sostanzialmente lo stesso.
Diciamo che Alberto scriva i numeri \(n\), \(m\). E supponiamo che \( n < m \).
Barbara dice una cosa come:
Vedi io ho \(1/2\) di scegliere \( m \) e \( 1/2\) di scegliere \( n \). Inoltre posso dire che il numero che vedo è più grande o più piccolo. Indipendentemente dalla strategia che utilizzo ho \(1/2\) di vincita infatti se dicessi che il numero che ho guardato è il più grande allora ottengo
\[ P(\text{Barbara vince}) = P(\text{scelgo } n) \cdot P(\text{dico che quello osservato è il più grande}) + P(\text{scelgo } m) \cdot P(\text{dico che quello osservato è il più grande}) = \frac{1}{2} \]
scegliendo invece la strategia di dire che è l'altro numero (quello non osservato) quello più grande allora
\[ P(\text{Barbara vince}) = P(\text{scelgo } n) \cdot P(\text{dico che l'altro è il più grande}) + P(\text{scelgo } m) \cdot P(\text{dico che l'altro è il più grande}) = \frac{1}{2} \]
in entrambi i casi ho una probabilità di \( 1/2 \) di vittoria
@axpgn
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
oppure del \( 50 \% \) 
Soluzione
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il ragionamento di Barbara è ingannevole poiché non è la sua miglior strategia. Nel senso che possiede una strategia ottimale. Ed è quella di scegliere con una probabilità uniforme in \( [0,100] \) un numero che chiameremo \(b\). La strategia migliore per Barbara è quella di osservare un numero su un bigliettino e a dipendenza del risultato scegliere la strategia 1 oppure 2 nel seguente modo.
Osserva \(a\) il numero su un bigliettino, paragona il numero osservato \(a\) con \( b \).
Se \( a < b \) allora dice che il più grande è l'altro.
Se \( b < a \) allora dice che il più grande è \( a \).
In questo modo guadagna in probabilità un \( \frac{m-n}{200} \). Questo perché abbiamo una probabilità del \( \frac{100-m}{100} \) che \( n< m < b \), una probabilità di \( \frac{n}{100} \) che \( b < n < m \) e una probabilità di \( \frac{m-n}{100} \) che \( n < b < m \). Dove come prima \(n<m \) sono i numeri scritti da Alberto.
Possiamo ottenere uno dei seguenti casi
- \( n<m<b \), in tal caso la probabilità di vittoria è effettivamente \( \frac{1}{2} \) indipendentemente dal fatto che \(a = n \) oppure che \( a= m \).
- \( n < b < m \), in tal caso la probabilità di vittoria è \( 1 \) indipendentemente dal fatto che \( a= n \) o che \( a= m \).
- \( n < m < b \) come nel primo caso la probabilità è \( 1/2\). Da cui segue che
\[ P( \text{Barbara vince} ) = \frac{100-m}{100} \cdot \frac{1}{2} + \frac{m-n}{100} \cdot 1 + \frac{n}{100} \cdot \frac{1}{2} = \frac{100-m+n+2(m-n)}{200} \]
\[=\frac{1}{2} + \frac{m-n}{200} \]
Chiaramente Alberto per "minimizzare" (non è possibile minimizzare davvero) il guadagno di probabilità di Barbara dovrebbe scegliere \(m\) ed \(n \) molto molto vicini. Ma Barbara avrà sempre probabilità strettamente maggiore di \( 1/2\) di vincere.
Osserva \(a\) il numero su un bigliettino, paragona il numero osservato \(a\) con \( b \).
Se \( a < b \) allora dice che il più grande è l'altro.
Se \( b < a \) allora dice che il più grande è \( a \).
In questo modo guadagna in probabilità un \( \frac{m-n}{200} \). Questo perché abbiamo una probabilità del \( \frac{100-m}{100} \) che \( n< m < b \), una probabilità di \( \frac{n}{100} \) che \( b < n < m \) e una probabilità di \( \frac{m-n}{100} \) che \( n < b < m \). Dove come prima \(n<m \) sono i numeri scritti da Alberto.
Possiamo ottenere uno dei seguenti casi
- \( n<m<b \), in tal caso la probabilità di vittoria è effettivamente \( \frac{1}{2} \) indipendentemente dal fatto che \(a = n \) oppure che \( a= m \).
- \( n < b < m \), in tal caso la probabilità di vittoria è \( 1 \) indipendentemente dal fatto che \( a= n \) o che \( a= m \).
- \( n < m < b \) come nel primo caso la probabilità è \( 1/2\). Da cui segue che
\[ P( \text{Barbara vince} ) = \frac{100-m}{100} \cdot \frac{1}{2} + \frac{m-n}{100} \cdot 1 + \frac{n}{100} \cdot \frac{1}{2} = \frac{100-m+n+2(m-n)}{200} \]
\[=\frac{1}{2} + \frac{m-n}{200} \]
Chiaramente Alberto per "minimizzare" (non è possibile minimizzare davvero) il guadagno di probabilità di Barbara dovrebbe scegliere \(m\) ed \(n \) molto molto vicini. Ma Barbara avrà sempre probabilità strettamente maggiore di \( 1/2\) di vincere.
