andreadel1988 ha scritto:Sia $f(x)=(1-x^2)^(3/2)$, $x in[-1,1]$, analizza la convergenza per $n->+infty$ del polinomio interpolante con nodi equispaziati.
In teoria dovrei studiare il limite per $n->+infty$ di $(||f^((n+1))||_{infty})/((n+1)!)(x-x_1)*...*(x-x_n)$ ma come faccio a calcolarlo effettivamente?
Direi che nessuno vuole calcolare esattamente quel limite, ma solo dire se diverge o converge.
Per quanto riguarda questo:
$(x-x_1)*...*(x-x_n)$
si puo' dire che $(x-x_j) \le 2 $ con $ 1\le j \le n$
quindi possiamo dire
$(x-x_1)*...*(x-x_n) \le 2^n$
e quindi $2^n / ((n+1)!) \to 0$.
Pero' la derivata $n+1$ volte della funzione ha chiaramente un comportamento diverso.
Infatti
$(1-x^2)^(3/2) = (1+x)^(3/2) (1-x)^(3/2)$
e se ci concentriamo in uno degli estremi, ad es. $x = -1$, ai fini di valutare la convergenza della derivata prendiamo solo il fattore
$g(x)=(1+x)^(3/2)$
vediamo che gia' $g''(x) = 3/4 1/ \sqrt(1+x)$ diverge per $x -> -1$.
Anche tutte le derivate successive hanno questo comportamento.
Quindi l'errore diverge per $x -> -1$ e $x -> 1$.
A sinistra di $x_1$ e a destra di $x_n$, se questi non coincidono con gli estremi, il polinomio diverge dalla funzione $f(x)$.