Errore inerente

[f_brizio_f]

Devo svolgere questo esercizio:
si scriva l'approssimazione al 1 ordine dell'errore inerente ottenuto dal calcolo della funzione:
-3(sqrt 5x^3-1)

il mio problema non e' calcolare l'errore inerente, il quale calcolo con la formula, x/f(x) * f'(x), ma non capisco cosa intenda per approssimare al 1 ordine? cioe' la funzione che trovo va approssimata ad una funzione lineare mediante taylor? o cosa dovrei fare? che cosa intende?

[feddy]

Comincia calcolando il condizionamento del problema (con la formula che hai scritto)

[feddy]

Ripensandoci, probabilmente intende utilizzare la formula che hai scritto tu, nulla di più. Il numero di condizionamento infatti, non è definito esattamente così, ma in un altro modo $$K(d)=\sup \{\frac{||\delta x||/||x||}{||\delta d||/ ||d||} \}$$ per i $\delta d+ d$ che sono dati "ammissibili". Scrivendo $K(d)$ in modo migliore , adatto al tuo caso, si ha $$K(x)=\frac{|(f(x)-f(x_c))/f(x)|}{(x-x_c)/x}$$
In pratica, hai errori relativi in output a numeratore, ed errori relativi in input a denominatore. Ora, usando il thm di lagrange al numeratore $|f(x)-f(x_c)| \approx f(x) |x-x_c|$, da cui la formula che hai scritto tu. Il "prim'ordine" si riferisce a questo passaggio

[f_brizio_f]

e una volta effettuato il calcolo, come faccio a dire se l'errore e' ben condizionato o mal condizionato? in base al coefficente di amplificazione k?

[feddy]

Non è l'errore ad essere ben/mal condizionato, bensì il problema.

Se $K(d)$ è "grande", allora è il problema è mal condizionato, se è vicino a $1$, è ben condizionato. Nel caso della valutazione della funzione in un punto,$K(d)$ grande significa che piccoli errori relativi sui dati (cioè sul punto in cui valuti) producono grandi errori relativi sui risultati.

E' importante perchè ad esempio, se devi valutare una funzione e il tuo dato in ingresso non è altro che il valore esatto perturbato di poco, cioè $x + \delta x$, come accade nella pratica quando si effettuano misurazioni, non è desiderabile che l'output sia abbia un grande errore relativo

Di fatto, nota che $K(d)$ è definito come il rapporto tra errori relativi.

[f_brizio_f]

Perfetto, grazie mille.

[feddy]

Prego!