Integrazione numerica

[luc27]

Ciao ragazzi,

Ho la seguente domanda. Consideriamo il seguente integrale
$\int_0^x f(x') dx'$
dove $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Ora, come si puó integrare numericamente un integrale di questo tipo?

Un alternativa é quella di usare il calcolo simbolico (SimPy, per dirne una). Si puó valutare tale integrale (che ovviamente sará funzione di $x$) senza utilizzare il calcolo simbolico ma con metodi simili all'integrazione numerica di integrali definiti?

Grazie

[feddy]

Certo. Si chiama appunto integrazione numerica, detta anche quadratura. Vedi qui

[luc27]

Tutto ció si riferisce ad integrali definiti. La mia domanda riguarda integrali del tipo

$g(x) = \int_0^x f(x') dx'$

dove il risultato non é uno scalare ma una funzione di $x$.

L'unica idea che ho é la seguente. Per semplicitá, assumiamo $x \in [0,1]$. Ora, discretizziamo il seguente intervallo in $N_x$ punti, con $x_i, i=1,..N_x$. Valutiamo

$g(x_i) = \int_0^{x_i} f(x') dx', \quad \forall i$

e dopodiché utilizziamo una tecnica di interpolazione sui valori $g(x_i)$ per ottenere la funzione $g(x)$. Penso possa funzionare, ma mi domandavo se ci fossero tecniche piú consistenti (senza utilizzare il calcolo simbolo, che ovviamente darebbe immediatamente il risultato voluto - se $f(x)$ non é troppo complessa).

[feddy]

L'avevo capito, volevo sottolineare appunto che il tuo integrale è sempre definito, e "funzione" di $x$ significa che quello che otterrai alla fine sarà un vettore $(g(x_i))_i$ che puoi come hai detto te interpolare come meglio credi.
L'accuratezza dipende dalla formula di quadratura su $f$ + l'errore di interpolazione su $g$ (che dipende dalla regolarità della $g(x)$ )

[luc27]

Ok, mi chiedevo se esistessero tecniche piú raffinate di questo metodo, ma sembra essere l'unica soluzione. Grazie mille per la risposta

[feddy]

Non che io sappia. Alla fine si tratta di interpolare una funzione. Non dovresti avere difficoltà a decidere quale formula interpolatoria usare, perché ad esempio se $f$ è $C^0$ allora $g \in C^1$ ( e così via man mano che $f$ è più regolare), pertanto un'interpolazione lineare a tratti ti da un errore quadratico nello spazio, a patto che la derivata seconda non sia troppo larga (allora la stima diventa poco significativa)