precisione di macchina e matlab

[Galager]

Ciao a tutti, studiando la precisione di macchina ho trovato un contrasto tra teoria e pratica che non capisco.
L'ambiente sono i numeri di macchina $F(\beta,t,m,M)$.
Una delle definizioni di precisione di macchina è la seguente: 'il minimo numero che sommato (in aritmetica di macchina) a 1 non fa 1; inoltre il suo valore è $1/2*\beta^(1-t)$.
ora usando matlab ho notato che
1. 1+eps=1 (e non >1 come è stato dimostrato sulla teoria)
2. provando a isolare t ho trovato $t=16.3525$, ma t non è supposto essere essere intero?
3. non ho ben capito se quando si parla di 'minimo numero' si intenda in valore assoluto oppure no. Ma usando sia $a=2e-16$ sia $b=3e-16$ si ottiene $1+=1$ e $1+b=b$.

Le operazioni sono state fatte in format long. Spero possiate aiutarmi, grazie!!

[feddy]

i) Quella definizione non è proprio la migliore. Una migliore è che $\epsilon$ è la distanza tra $1$ ed il successivo numero in virgola mobile. In MatLab 1+eps>1 da come risultato 1 cioè true.


ii) Non ha molto senso ricavarsi $t$ a ritroso. In ogni caso, deve essere intero, per come è definito

iii) Per come è definito, essendo la base $\beta >0$, è inteso positivo.

[Galager]

OK grazie. perchè non ha senso calcolarsi t a ritroso? (in effetti 1+abs==1 è false, ma comunque calcolando 1+abs esce 1, come mai?)

[feddy]

Perché vengono visualizzate solamente le prime 16 cifre decimali. Ma, per costruzione, quel numero sarà più grande di 1. Prova a stampare a video 1+1e-15. Troverai un 1 nell'ultima cifra che vedi nel terminale. D'altronde, l'unità di roundoff è dell'ordine di $10^(-16)$, ecco perché non noti la differenza, che però c'è.

[feddy]

Ti propongo un fatto carino, che spero possa essere utile per farti comprendere quanto bisogna stare attenti talvolta all'aritmetica floating point.

Calcola $\log(1+x)$ per $x$ molto piccolo.

Per un $x> -1$ tale che $|x|< \mu$, dove $\mu$ è l'unita di roundoff, hai che necessariamente 1+x == 1. Perciò $\log(1+x)=\log(1)=0$: che è clamorosamente errato. Infatti, per $x = 10^(-18)$, hai che $\log(1+x) \approx 10^(-18)$ in aritmetica esatta, non $0$ come invece trovi sul tuo pc! L'errore relativo infatti è molto grande $E_r(x)\approx\frac{10^(-18)-0}{10^(-18)} = 1$.


Come ovviare a questo inconveniente? Usando Taylor con resto di Lagrange in un intorno di $x$ abbiamo

$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3/3)$

Perciò l'errore commesso è dell'ordine di $\frac{x^3}{3}$. Pertanto, per valori $|x|<10^{-4}$ trovi che $\log(1+x)$ viene valutata con un errore $|E(x)| < 10^{-12}$. Questo breve listato in C++ ti permette di fare diversi test:

Codice:

#include <iostream>
#include <cmath>


struct NonAccett{
    std::string messaggio;
    NonAccett(std::string s): messaggio{std::move(s)} {}
    const char* what() const {return messaggio.c_str();}
};


double log1px(const double& x){
   
    if (x<=-1) {
        throw NonAccett(std::to_string(x) + " è minore di -1, non accettabile");
    }
   
    if (std::fabs(x)>1e-4) {
        return log(1+x); //non ci sono grandi problemi di accuratezza
    }
   
    return x*(1 - 0.5*x);
   
}


int main(){
   
    const double x{1e-15};
    try {
        double test{log1px(x)};
        std::cout << test << std::endl;
        return 0;

    } catch (const NonAccett& tp) {
        std::cout << tp.what() <<std::endl;
        return 1;
    }
   
}