Legame tra norma e raggio spettrale

[throaway0908]

Salve a tutti,

qualcuno potrebbe spiegarmi qual è il legame tra una norma e il raggio spettrale?

[feddy]

Benvenuto sul forum,

un qualsiasi libro di testo, tipo il Quarteroni Sacco Saleri- Matematica Numerica, tratta l'argomento. In ogni caso, il uno dei legami più importanti è dato dalla norma $2$ di matrice: $||A||_2 = \sqrt{\rho(A^H A)}$, dove $A^H$ è la trasposta coniugata, che nel caso reale altro non è che la semplice trasposta. Ti faccio notare, per semplicità nel caso in cui $A$ sia reale, che $(A^T A)^T=A^T A$, cioè $A^T A$ è simmetrica, e dunque sicuramente diagonalizzabile per il teorema spettrale e quindi ha senso parlare di autovalori.

Nel caso $A$ stessa sia simmetrica, ricavi subito che $||A||_2=\sqrt{\rho(A^2)}$, e poiché gli autovalori di $A^2$ sono gli autovalori di $A$ al quadrato, allora $||A||_2 = \sqrt{\rho^2(A)}=\rho$.


Ci sono altre proprietà, che trovi ovunque sul web. Se ti serve un consiglio su dove guardare, scrivi pure