Siano date \( k : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R} \) e \( u : [0,1] \to \mathbb{R} \). Consideriamo la trasformazione integrale
\[ f(x) = \int_0^1 k(x,y)u(y) dy \ \ \ \ \ \ (1) \]
a) Siano \(x_i = ih \) per \( i = 0 ,\ldots , N \) e \(h=1/N \). Applicare la regola del trapezio per approssimare (in N sottointervalli) l'integrale \((1)\) ad ogni \(x_i\):
\[ Q_h^{(1)}[k(x_i,\cdot)u(\cdot)] \approx \int_0^1 k(x_i,y)u(y) dy , \ \ \ \ i=0,\ldots,N \]
Dati i valori delle funzioni \( \mathbf{f} = [f(x_0),\ldots,f(x_N)]^T \) vogliamo trovare i valori delle funzione \( \mathbf{u} = [ u(x_0),\ldots,u(x_N)]^T \) tale che
\[Q_h^{(1)}[k(x_i,\cdot)u(\cdot)] = f(x_i ), \ \ \ \ i=0,\ldots,N \ \ \ \ (2) \]
Dimostra che (2) è equivalente a trovare un sistema lineare della forma
\[ A \mathbf{u} = \mathbf{f} \]
dare una formula esplicita per le entrate della matrice \(A\).
Io sono un po' confuso sulla domanda. Non capisco se vuole semplicemente altro o qualcosa di più esplicito.
Perché per uno fare
\[ f(x_i) = \int_{0}^{1} k(x_i,y)u(y) dy = \sum_{j=0}^{N-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} k(x_j,y)u(y)dy \]
\[ \approx \sum_{j=0}^{N-1} (x_{j+1} - x_j) \frac{k(x_i,x_{j+1})u(x_{j+1}) + k(x_i,x_j) u(x_j) }{2} \]
\[ = \frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} \frac{k(x_i,x_{j+1})u(x_{j+1}) + k(x_i,x_j) u(x_j) }{2} \]
\[ = \frac{1}{N}\left( \frac{k(x_i,x_0)u(x_0)+k(x_i,x_N)u(x_N)}{2} + \sum_{j=1}^{N-1} k(x_i,x_j)u(x_j) \right) \]
E fin qui okay. Ma poi come vuole che trovo i valori di \( \mathbf{u} \) non ho capito. Cioè okay, costruisco la matrice
\[ A := \frac{1}{N}\begin{pmatrix}
k(x_0,x_0)/2& k(x_0,x_1) & \ldots & k(x_0,x_{N-1}) &k(x_0,x_N)/2 \\
k(x_1,x_0)/2& k(x_1,x_1)& \ldots & k(x_1,x_{N-1}) & k(x_1,x_N)/2 \\
\vdots& \vdots& \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots& \vdots& \ddots & \vdots & \vdots \\
k(x_N,x_0)/2 & k(x_N,x_1) & \ldots& k(x_N,x_{N-1}) & k(x_N,x_N)/2
\end{pmatrix} \]
e ottengo che risolvere il sistema lineare nelle incognite \( u(x_j)\)
\[ A \mathbf{u} = \mathbf{f} \]
è equivalente a dire
\[ Q_h^{(1)}[k(x_i,\cdot)u(\cdot)] = f(x_i ) \]
Perché poi nel punto b) mi dice questo
Ora usiamo il vettore \( \mathbf{u} \) determinato da (2) per approssimare \(f\) in un punto arbitrario \(z \in [0,1] \). Applicando ancora la regola del trapezio a (1):
\[ f(z) \approx f_z:= Q_h[k(z,\cdot)u(\cdot)] \]
Assumi che la matrice
\[ K = \begin{pmatrix}
k(x_0,x_0)& k(x_0,x_1) & \ldots & k(x_0,x_{N-1}) &k(x_0,x_N) \\
k(x_1,x_0)& k(x_1,x_1)& \ldots & k(x_1,x_{N-1}) & k(x_1,x_N) \\
\vdots& \vdots& \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots& \vdots& \ddots & \vdots & \vdots \\
k(x_N,x_0) & k(x_N,x_1) & \ldots& k(x_N,x_{N-1}) & k(x_N,x_N)
\end{pmatrix} \]
sia invertibile, dimostra che
\[ f_z = ( k(z,x_0), \ldots, k(z,x_N) ) K^{-1} \mathbf{f} \]
Ora sono confuso perch io non ho determinato nessun vettore.... ho semplicemente detto che è la soluzione di un sistema lineare. Okay è in un qualche modo determinarlo. Però sono un po' confuso lo stesso.
Abbiamo che
\[ f_z = \frac{1}{N}\left( \frac{k(z,x_0)u(x_0)+k(z,x_N)u(x_N)}{2} + \sum_{j=1}^{N-1} k(z,x_j)u(x_j) \right) \]
E abbiamo dunque che per trovare
\[ f_z = ( k(z,x_0), \ldots, k(z,x_N) ) K^{-1} \mathbf{f} = ( k(z,x_0), \ldots, k(z,x_N) ) \mathbf{u} = ( k(z,x_0), \ldots, k(z,x_N) ) (u(x_0), \ldots, u(x_N))^T = k(z,x_0)u(x_0) + \ldots + k(z,x_N)u(x_N) \]
e c'è qualche cosa di sbagliato...
EDIT:
A meno che non vuole che \(A=K \) e \( \mathbf{u} = [ \frac{u(x_0)}{2N}, \frac{u(x_1)}{N} , \ldots, \frac{u(x_{N-1})}{N}, \frac{u(x_N)}{2N} ]^T \) ed in tal caso le cose quadrano, e quando mi definisce il vettore \( \mathbf{u} \) sbaglia a dire che è \( \mathbf{u} = [ u(x_0) ,\ldots,u(x_N)]^T \), perché onestamente non capisco. Però non so, dubito che sia questo.