Metodo degli elementi finiti (sono disperato !)

[BrazenMario]

Salve a tutti, sto avendo un problema nella risoluzione di questo problema ai valori ai limiti col metodo degli elementi finiti, la EDO è la seguente:

$ { (-(d^2T)/dx^2=q/k),( (dT)/dx|_(x=0)=0),( T|_(x=L)=298 K ):} $

Per i meno studiati ( ) la EDO è la classica equazione che governa il trasporto di energia attraverso una geometria piana con generazione, il problema che non riesco a risolvere è che non riesco a scrivere il sistema che risolve numericamente il problema, la difficoltà (apparentemente insormontabile) è che non riesco a scrivere il vettore dei termini noti quando le condizioni al contorno sono miste (Dirichlet + Neumann), qualcuno può aiutarmi per favore??

[feddy]

È un problema ai limiti, non una vera e propria ODE. Detto questo, devi partire con la formulazione debole. In quale spazio funzionale cerchi la soluzione ? Ovviamente $H_{\Gamma_D}^1$, cioè nelle funzioni $H_1$ che sono zero nella parte di bordo corrispondenti al dato di Dirichlet. Qui $\Gamma_D = \{ 0\}$, cioè è costituito da un solo punto.


Dettò ciò, prendi una funzione test $v$, integra per parti e trovi che la formulazione debole è:

Cerca una funzione $u \in H_{\Gamma_D}^1$ tale che $$\int_0^L u'v' = \int_0^L fv +u'(L)v(L) - u'(0)v(0) $$

per ogni $v \in H_{\Gamma_D}^1$
Nota che gli ultimi due termini sono $0$ entrambi perché $v(L)=0$, e $u'(0)=0$ per definizione. Ora, nota che se $u'(0)$ non fosse $0$, ma avessi ad esempio $u'(0)=1$, questo finirebbe nel membro di destra e avresti nella formulazione debole $$\int_0^L u'v' \text{dx} = \int_0^L fv \text{dx} - 1 \cdot v(0) $$