risoluzione numerica di ODE e Taylor series

[marco tosato]

Ciao,
studiando i metodi di approssimazione numerica di ODEs mi è venuto un dubbio a cui non riesco dare risposta. Supponiamo ad esempio di voler utilizzare un metodo Runge Kutta al quarto ordine per risolvere il generico $y'(x)=f(x,y(x))$, ciò equivarrebbe a calcolare la Taylor series expansion fino al quarto ordine.
La mia domanda sta proprio in questo punto... perchè non calcolare direttamente le derivate di ordine superiore partendo da $y'(x)$ in modo da ottenere la TSE al quarto ordine, senza dunque utilizzare il metodo RK?
Negli appunti ho scritto che RK è necessario dal momento che la funzione $y'(x)$ potrebbe non essere nota. Ora, supponendo che la funzione stessa non sia nota, non sarebbe impossibile svolgere anche lo stesso metodo RK siccome non potrei calcolare già il termine di primo ordine? Inoltre, che esempi ingegneristici potrebbero esserci a descrivere questo caso?
Grazie
Marco

[feddy]

Non sono sicuro di aver compreso la tua domanda. Calcolarsi le derivate di ordine superiore a partire da $y'(x)$ non ti permetterebbe di arrivare ad un metodo numerico che puoi effettivamente implementare, ti porteresti dietro derivate che non capisco come vorresti trattare. Ma soprattutto,

Negli appunti ho scritto che RK è necessario dal momento che la funzione $y'(x)$ potrebbe non essere nota.

$y'(x)=f(x,y(x))$, per definizione.
Pensa ad Eulero esplicito (che fa parte della famiglia dei metodi RK). Il punto cruciale è che vale $y(x_{i+1}) = y(x_i) + hy'(x_i)+ \text{h.o.t}$ Ora, siccome abbiamo detto che $y'(x)=f(x,y(x))$, inserendola e ignorando i termini di ordine superiore hai esattamente eulero esplicito.

Inoltre, che esempi ingegneristici potrebbero esserci a descrivere questo caso?

Qualsiasi processo fisico che evolve nel tempo e vuole essere risolto numericamente viene integrato nel tempo con un metodo numerico (come ad esempio RungeKutta4,etc...), talvolta scelto "ad hoc" in base al problema e alle sue proprietà fisiche. Di esempi ce ne sono infiniti: basta che il sistema fisico sia in qualche modo legato ad una ODE...