Siccome a quest'ora non ho nulla da fare...
Errori:
1) La matrice $A$ che hai creato non è quella richiesta. In particolare, la tua non è nemmeno simmetrica. Infatti,
- Codice:
A3
deve essere moltiplicata per $3$, invece che per $6$.
A dire il vero, non ti serve nemmeno definire
- Codice:
A3
come variabile, perché è uguale alla diagonale sopra. Dunque, ti basta un solo vettore per le sopra e sotto diagonali.
2) La tua risoluzione con LU è corretta, ma la QR no. Dalla teoria sai che $x=R^{-1}(Q^t b)$, ma nel tuo codice tu stai usando $Q$, non $Q^t$. Basta aggiungere un apice e risulta corretto.
3) Devi calcolare gli autovalori, notare che sono tutti positivi e, siccome la matrice è anche simmetrica, utilizzare l'algoritmo di Cholesky per fattorizzare $A$ in $A=R^tR$. Questi sono due sistemi triangolari, proprio quelli richiesti dall'esercizio.
Di seguito l'esercizio corretto: ho definito
- Codice:
b
direttamente come vettore colonna, per evitare il trasposto. Ho corretto la risoluzione con $QR$, che di fatto non era richiesta, e aggiunto la parte che mancava riguardo agli autovalori.
- Codice:
n=18;
d=6*ones(n,1); %vettori per la creazione di A
sd=3*ones(n-1,1);
A=diag(d)+diag(sd,1)+diag(sd,-1); %creo A
b=linspace(5,8,n)';
tic %calcolo costo computazionale LUP
[L,U,P]= lu(A);
y=L\(P*b);
x=U\y;
toc
tic %calcolo costo computazionale QR
[Q,R]=qr(A);
x=R\(Q'*b);
toc
% Autovalori
eig(A)>0 %risulta un vettore di 1, cioè true, dunque la matrice è definita positiva
% Poichè sappiamo quindi che A è simmetrica e definita positiva, allora possiamo utilizzare
% tranquillamente la decomposizione di Cholesky:
tic
R = chol(A);
y = R'\b;
x = R\y;
toc
norm(x+y,1)
