Sia \(\alpha \in \mathbb R\) positivo e la matrice reale \[A := \begin{bmatrix} -4 & 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 3 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & 6 & -2 \\ 1 & 0 & -\alpha & -10 \end{bmatrix}\] [...] Trovare una condizione sufficiente per cui \(A\) ha gli autovalori tutti reali. [...]
La richiesta è individuare una condizione sufficiente... Se i cerchi riga di Gershgorin sono mutualmente disgiunti, alora ciascuno di questi cerchi ha un solo autovalore. In particolare, se anche la matrice è reale --- come in questo caso --- allora gli autovalori sono tutti reali. I cerchi riga sono \begin{align*}
R_1 &:= \{ z \in \mathbb C \mid \lvert z+4 \rvert \le 1+\alpha \} \\
R_2 &:= \{ z \in \mathbb C \mid \lvert z-3 \rvert \le \alpha \} \\
R_3 &:= \{ z \in \mathbb C \mid \lvert z-6 \rvert \le 2+\alpha \} \\
R_4 &:= \{ z \in \mathbb C \mid \lvert z+10 \rvert \le 1+\alpha \}
\end{align*} Disegnando i cerchi sul piano complesso, sono disgiunti quando \(\alpha \in \left]0, \frac12 \right[\).
Guradando un esercizio svolto in classe, viene fatto il ragionamento anche coi cerchi colonna. E poi, mi sono appuntato questa frase del prof: "alla fine scegliamo la condzione meno debole." A parte che non chiara questa espressione, è proprio necessario studiare i cerchi colonna? Mi sono perso qualcosa? Questa parte è stata fatta senza dimostrazioni, quindi non potrei neanche accorgermi di errori durante la presa degli appunti in aula.
