Convergenza di interpolazione con nodi equispaziati

[andreadel1988]

Sia $f(x)=(1-x^2)^(3/2)$, $x in[-1,1]$, analizza la convergenza per $n->+infty$ del polinomio interpolante con nodi equispaziati.
In teoria dovrei studiare il limite per $n->+infty$ di $(||f^((n+1))||_{infty})/((n+1)!)(x-x_1)*...*(x-x_n)$ ma come faccio a calcolarlo effettivamente?

[feddy]

Ciao Andrea,

$f$ è nota, e dunque quella norma infinito è qualcosa che puoi calcolare, tenendo comunque conto della regolarità di $f$ in $[-1,1]$

[Quinzio]

Sia $f(x)=(1-x^2)^(3/2)$, $x in[-1,1]$, analizza la convergenza per $n->+infty$ del polinomio interpolante con nodi equispaziati.
In teoria dovrei studiare il limite per $n->+infty$ di $(||f^((n+1))||_{infty})/((n+1)!)(x-x_1)*...*(x-x_n)$ ma come faccio a calcolarlo effettivamente?

Direi che nessuno vuole calcolare esattamente quel limite, ma solo dire se diverge o converge.

Per quanto riguarda questo:

$(x-x_1)*...*(x-x_n)$

si puo' dire che $(x-x_j) \le 2 $ con $ 1\le j \le n$

quindi possiamo dire

$(x-x_1)*...*(x-x_n) \le 2^n$

e quindi $2^n / ((n+1)!) \to 0$.

Pero' la derivata $n+1$ volte della funzione ha chiaramente un comportamento diverso.
Infatti
$(1-x^2)^(3/2) = (1+x)^(3/2) (1-x)^(3/2)$

e se ci concentriamo in uno degli estremi, ad es. $x = -1$, ai fini di valutare la convergenza della derivata prendiamo solo il fattore
$g(x)=(1+x)^(3/2)$
vediamo che gia' $g''(x) = 3/4 1/ \sqrt(1+x)$ diverge per $x -> -1$.

Anche tutte le derivate successive hanno questo comportamento.

Quindi l'errore diverge per $x -> -1$ e $x -> 1$.

A sinistra di $x_1$ e a destra di $x_n$, se questi non coincidono con gli estremi, il polinomio diverge dalla funzione $f(x)$.

[andreadel1988]

Ho riflettuto meglio e se ci pensate quella formula dell'errore vale solo se $f$ è di classe $C^(n+1)$ ma $f$ non è nemmeni di classe $C^2$ e quindi non si puo dire niente (ho chiesto anche alla professoressa e mi ha detto che è cosi). Era tipo una domanda a trabocchetto hahhaha.

[feddy]

tenendo comunque conto della regolarità di $f$ in $[-1,1]$