E' data la funzione $f(x)=x^2-3x+2$, con l'equazione associata $f(x)=0$, avente radici $1$ e $2$. Considera l'iterazione con punto fisso, con $x_0!=1$, $x_(k+1)=1/\omega(x_k^2-(3-omega)x_k+2)$ con $\omega!=0$.
i) Identifica il più grande intervallo in $\omega$ tale che per ogni $\omega$ in questo intervallo l'iterazione converge a $1$;
ii) Per $\omega=2$, determina $alphain(0,1]$ tale che l'iterazione converga a $1$ per ogni $x_0in[1-alpha,1+alpha]$.
Io ho provato così:
i) Posto $phi(x)=1/\omega(x^2-(3-omega)x+2)$ abbiamo che $|phi'(x)|<1$ se e solo se ${(x in(3/2-\omega,3/2),if \omega>0),(x in(3/2,3/2-\omega),if \omega<0):}$. Siccome $1$ deve trovarsi all'interno di questi intervalli di $x$ allora l'unica possibilità è $x in(3/2-\omega,3/2)$ con $omega>1/2$. Inoltre notiamo che $phi(x)<phi(3/2)=3/2-1/(4\omega)<3/2$ e $phi(x)>phi(3/2-\omega)=3/2-1/(4\omega)>3/2-\omega$ (queste disugualianze sono tutte verificate perchè $omega>1/2$). Ma allora per il teorema di convergenza globale dei punti fissi se prendiamo un qualunque compatto all'interno di $(3/2-\omega,3/2)$ con $omega>1/2$ allora si ha convergenza alla radice $1$.
ii) Si ha che $phi(x)=(x^2-x+2)/2$ da cui $|phi'(x)|<1$ se e solo se $x in (-1/2,3/2)$, da cui $alphain(0,1/2)$. Inoltre $phi(x)<phi(1+alpha)=(alpha^2+alpha+2)/2<1+alpha$ e $phi(x)>phi(1-alpha)=(alpha^2-alpha+2)/2>1-alpha$ (queste disugualianze sono tutte verificate perchè $alphain(0,1/2)$). Quindi per il teorema di convergenza globale in $[1-alpha,1+alpha]$ con $alphain(0,1/2)$ si ha convergenza alla radice $1$, ad esempio posso prendere $alpha=1/4$.
Volevo sapere se andasse bene o fosse sbagliato, grazie.