Esercizio sui polinomi di base di Lagrange

[andreadel1988]

Dimostrare che per i polinomio di Lagrange di grado $n$ si ha $\varphi_n(x)=\sum_{i=0}^nL_i(x)(x_i-x)^j=1$ per ogni $j=2,...,n$ e $AAx inRR$.
Volevo riportare una soluzione che però non ho capito bene:
Intanto ricordiamo che presi ${x_0,...,x_n}$ i nodi con cui costruiamo i polinomi di lagrange si ha che $L_i(x_j)={(1,if j=i),(0,if j!=i):}$

Si ha quindi che $\varphi_n(x_k)=L_k(x_k)*(x_k-x_k)^j=0$ per ogni $k=0,...,n$, quindi $\varphi_n(x)$ ha almeno $n+1$ zeri.
Ora usando che $L'_i(x)=L_i(x)\sum_{l=0,l!=i}^n 1/(x-x_l)$ si ha che $\varphi'_n(x)=\sum_{i=0}^nL_i(x)((\sum_{l=0,l!=i}^n 1/(x-x_l))(x_i-x)^j+j(x_i-x)^(j-1))$, da cui $\varphi'_n(x_k)=L_k(x_k)((\sum_{l=0,l!=k}^n 1/(x_k-x_l))(x_k-x_k)^j+j(x_k-x_k)^(j-1))$
per cui $x_k$ ha molteplicità maggiore di $1$ in $\varphi_n(x)$ per ogni $k=0,...,n$ e conclude così, questo perchè $\varphi_n(x)$ avrebbe almeno $2n+2$ radici mentre $\varphi_n(x)$ sarebbe un polinomio di grado al più $2n$ dato che i polinomi di Lagrange hanno grado $n$ e $(x_i-x)^j$ ha grado al più $n$ poichè $j=2,...,n$, giusto?