Formula di quadratura composita di grado 2 con funzione a tratti

[andreadel1988]

E' data la funzione:

$f(x)={(sin(pix)e^x,if x in[-1,0]),(−x^3 − 3x^2 + 2x,if x in[0,2]):}$

i)Proponi una formula di quadratura composita con grado di esattezza uguale a $2$ per l’approssimazione dell’integrale $int_-1^2f(x)dx$;
ii)Stima l’errore nell’intervallo $[−1, 2]$.

Allora io avevo pensato di usare una formula di quadratura sugli intervalli $[-1,0]$ e $[0,2]$ (così da essere composita in $[-1,2]$) che sia esatta per $1,x,x^2$ ma che non lo sia per $x^3$, quindi della forma $int_-1^0f(x)dx=alpha_0f(-1)+alpha_1f(x_1)+alpha_2f(0)$ e $int_0^2f(x)dx=alpha_3f(0)+alpha_4f(x_2)+alpha_5f(2)$ e determinare i coefficienti $alpha_0,alpha_1,alpha_2,alpha_3,alpha_4,alpha_5$ imponendo le condizioni di esattezza su $1,x,x^2$, il problema è la scelta di $x_1in[-1,0]$ e $x_2in[0,2]$, infatti ad esempio se prendessi $x_1=-1/2$ e $x_2=1$ mi verrebbe la formula di Simpson-Cavalieri e quindi sarebbe esatta anche per $x^3$ ma noi vogliamo una formula di grado $2$, quindi mi chiedevo a parte questo caso particolare la scelta di $x_1$ e $x_2$ posso farla come mi pare o ci sono altri valori che mi rendono esatta la formula anche per $x^3$?