Esercizio del punto fisso con parametri

[andreadel1988]

Studia il comportamento della seguente successione di punto fisso del tipo $x_k+1=phi(x_k)$, al variare del parametro $p >0$ , $x_{k+1} = −1/p(e^(2x_k)+ 2)$ .In particolare,
i) Determina, se possibile, un intervallo opportuno per cui $|phi'(x)| < 1$ per ogni $x inI$;
ii) Determina, se possibile e dando eventualmente condizioni su $p$, un intervallo opportuno $[a, b]$ per cui $phi:[a, b]->[a, b]$;
iii) Concludi quindi sulla convergenza della successione come metodo di punto fisso, al variare di $p$.

Allora riporto quello che ho fatto:

Abbiamo che $phi'(x)=-(2e^(2x))/p<0$. Inoltre $abs(phi'(x))<1$ se e solo se $x<(ln(p)-ln(2))/2$, per cui $I=(-infty,(ln(p)-ln(2))/2)$. Ora osserviamo che l'equazione $phi(x)-x=0$ ha come radice il punto fisso $x^**$ di $phi$ e si ha che $phi(-3/p)+3/p=(1-e^(-6/p))/p>0=phi(x^**)-x^**$ poichè $e^(-6/p)<1$ dato che $p>0$. Inoltre $(phi(x)-x)'=phi'(x)-1<0$ per cui la funzione $phi(x)-x$ è decrescente e quindi $-3/p<x^**$ per ogni $p>0$. Ora ci basta trovare gli $p$ tali che $(ln(p)-ln(2))/2>x^**$, ovvero per decrescenza di $phi(x)-x$ si ha che $phi((ln(p)-ln(2))/2)-x<phi(x^**)-x^**=0$, ovvero $ln(p)> -4/p-1-ln(2)$ ovvero $p>1/(2e^(4/p+1))$ ora sostituisco $k=4/p>0$ da cui $4/k>1/(2e^(k+1))$ ovvero $e^(k+1)>k/8$ è questo è vero per ogni $k>0$ ovvero per ogni $p>0$, per cui l'intervallo $[-3/p,(ln(p)-ln(2))/2-epsilon]$ con $epsilon>0$ (abbastanza piccolo) rispetta le condizione del teorema di convergenza globale del metodo del punto fisso.

Volevo sapere se fosse tutto corretto, grazie (più che altro non sono sicuro che il fatto che valga $k>0$ allora vale anche per $p>0$ dato che si tratta di una sostituzione, ma forse penso solo male ed è giusto...)

[andreadel1988]

Ho provato a fare di meglio e ho fatto così:

Per quanto ho detto prima sappiamo che $-3/p<x^**$. Abbiamo che $phi(-2/p)+2/p=-e^(-4/p)/p<0=phi(x^**)-x^**$ poichè $p>0$, ma allora per la decrescenza di $phi(x)-x$ abbiamo che $-2/px^**$, ora ci basta vedere per quali valori di $p$ si ha che $-2/p<ln(p/2)/2$ ovvero per $p>2e^(-4/p)$ con $p>0$, ora se si fanno i grafici approssimativi di $x$ e di $2e^(-4/x)$ (parte da $0$ e ha asintoto in $2$ ed è una funzione crescente vedendo la derivata prima per $x>0$ che è $(8e^(-4/x))/x^2>0$), molto facili a mano per $x>0$ si vede che $x>2e^(-4/x)$ $AAx>0$ e quindi $-2/p<ln(p/2)/2$ per ogni $p>0$, quindi come intervallo $[a,b]$ prendiamo $[-3/p,-2/p]$