Devo risolvere l'equazione di convezione-diffusione \(\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial{t}}+a\frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} -k\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial{x^2}}=0\) con:
- dominio \(\displaystyle [0, L] \)
condizione iniziale \(\displaystyle \varphi(x, 0)=0 \)
e condizioni al contorno \(\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}=sin(\frac{2\pi at}{L}) \) a \(\displaystyle x=0 \) e \(\displaystyle \varphi(L, t)=0 \)
Il mio dubbio ora è applicando il metodo del nodo fantasma dovrei ottenere che \(\displaystyle \frac {\varphi_2-\varphi_0}{2h}=sin(\frac{2\pi at}{L}) \) da cui ricavo che \(\displaystyle \varphi_0=\varphi_2-2h sin(\frac{2\pi at}{L}) \).
Ora la mia domanda è:
ma andando a sostituire nello schema assegnatomi come mi dovrei comportare con la \(\displaystyle \varphi_0^{n+1} \) e la \(\displaystyle \varphi_0^{n} \)? C'è qualche differenza da mettere in evidenza?