Devo darti una delusione
o forse no....
Come ti avevo accennato prima tutto questo sistema di analisi degli errori <<non va bene>> per i metodi iterativi. Nel senso che teoricamente funziona, ma i metodi iterativi hanno una proprietà particolare: usare un metodo iterativo vuol dire sostanzialmente calcolare i termini di una successione e sfruttare il fatto che questa ha come limite lo zero che si vuole calcolare.
Se ${x_0,x_1,x_2,....}$ è la successione delle iterate del nostro metodo anche la successione ${x_1,x_2,....}$ converge allo stesso zero. Dunque per farla breve l'analisi dell'errore algoritmico con il metodo generale dice poco riguardo un metodo iterativo perchè è come se ad ogni passo cominci da capo. Invece con altri metodi l'errore algoritmico finale è il risultato di tutti gli errori ai passi intermedi almplificati man mano. Insomma se tu facessi l'analisi (in avanti o all'indietro) dell'errore algoritmico al passo k non sapresti come usarla nell'analisi al passo k+1. Perchè la successione punta sempre alla soluzione. (questo ovviamente nel caso che la successione non finisca in zone repulsive per la soluzione-caso patologico difficile da ottenere)
Allora come fare? Si usano dei risultati diversi, ad esempio:
Teorema
Sia g di classe C1 su un intorno $I=[alpha-rho,alpha+rho]$ della soluzione $alpha=g(alpha)$. Sia $lambda=max_{|x-alpha|<=rho}|g'(x)|<1$. Siano $delta_i$ gli errori assoluti introdotti nel calcolo effettivo dell'i-esima iterazione cioè $barx_i=g(barx_{i-1})+delta_i$. Supponiamo che esista $delta$ tale che $AAi\ |delta_i|<=delta$. Posto $sigma=delta/(1-lambda)$, se $sigma<rho$, $|x_0-alpha|<=rho$ e $barx_0=x_0$ allora si ha:
$|barx_i-alpha|<=sigma+lambda^i(rho-sigma)$.
[La dimostrazione è per induzione su i.]
Questo teorema ti dice che se g è sufficientemente regolare gli errori che otterrai faranno sì che la soluzione effettivamente calcolata non sia la soluzione corretta ma che cada in un intorno relativamente piccolo della soluzione corretta. Io avevo trovato questa immagine per chiarirlo: immagina di tirare una freccia con un arco infallibile che centra sempre il centro del bersaglio. Però una folata di vento la devia e la fa finire in un intorno del bersaglio. Quanto è piccolo l'intorno? Si tratta di misurare che velocità che aveva il vento-per noi la stabilità dell'algoritmo. Dipende da vari aspetti.
Si vede meglio se passiamo agli errori relativi:
Se chiamiamo $epsilon_i$ l'errore relativo indotto al passo i (quindi $delta_i=g(barx_i)epsilon_i$) e supponiamo che sia $AAi\ |epsilon_i|<=epsilon$ e $max_{|x-alpha|<=rho}|g(x)|=M$ allora posto $delta=epsilonM$ dal teorema si ha:
$|barx_i-alpha|/|alpha|<=sigma/|alpha|+lambda^i(rho/|alpha|-sigma/|alpha|).$
Se osservi bene vedi che la quantità $sigma/|alpha|=(epsilonM)/(|alpha|(1-lambda))$ dà una stima dell'incertezza con cui è possibile determinare la soluzione per effetto degli errori di arrotondamento.
Anche di questo teorema puoi dare una versione con ipotesi lievemente più deboli.
Quindi in generale per l'errore algoritmico di un metodo iterativo non fai l'analisi dell'errore al passo ma cerchi di dare una stima su quanto gli errori a ogni passo influenzano il limite della successione effettivamente calcolata.
"Un popolo che non riconosce i diritti dell'uomo e non attua la divisione dei poteri non ha Costituzione" [Déclaration des droits de l'homme et du citoyen]
Chi di spada perisce... muore.