METODO DELLE POTENZE INVERSE

[glorietta]

METODO DELLE POTENZE INVERSE
Allora nel metodo delle potenze inverse utilizzo l'inversa della matrice A che chiamo B, quindi B=A^(-1) e di conseguenza gli autovalori della matrice B sono i reciproci di quelli della matrice A.
A^(-1) approssima l'autovalore di midulo minimo di A .
Vado ad ordinare gli autovalori in modulo dal più piccolo al più grande e risulta : 0<|lambda(1)|<|lambda(2)|<=|lambda(n)|, successivamente arriva il processo iterativo dove


x (al passo k+1)=Bx(al passo k) se e solo se Ax(al passo k+1)=x(al passo k), (è un sist lineare che costa 1/3 n^(3))

ora il mio professore ci ha spiegato di utilizzare la fattorizzazione LU,

A=LU e anche questo sistema costa ancora 1/3n^(3)

e poi ha detto che ogni sistema costa circa come n^(2).

La mia domanda è quella di capire perchè devo utilizzare la fattorizzazione LU, cioè che ruolo ha nel metodo delle potenze inverse?Inoltre, da dove viene ricavato che ogni sistema costa circa n^(2)????

[Mathematico]

METODO DELLE POTENZE INVERSE

[...]$x_{k+1}=Bx_k$ se e solo se $Ax_(k+1)=x_(k)$[...]

La mia domanda è quella di capire perchè devo utilizzare la fattorizzazione LU, cioè che ruolo ha nel metodo delle potenze inverse?Inoltre, da dove viene ricavato che ogni sistema costa circa n^(2)????

Credo sia una questione di "velocità". Considera che il calcolo della matrice inversa richiede un costo computazionale non indifferente, ciò ci spinge a risolvere il sistema lineare $A x_{k+1}=x_{k}$ e per ottimizzare maggiormente il metodo, si fattorizza la matrice $A$ come il prodotto di due matrici L (triangolare inferiore) ed U (triangolare superiore), e quindi ricondurci a:
$\{(Ly_{k+1}= x_k), (Ux_{k+1}= y_{k+1}):}$

Mi auguro sia chiaro