[Analisi]-Cercando un limite di una somma

[Mathematico]

@gugo, carinissima la generalizzazione , la lascio ad uno studente volenteroso .

@robbstark: appena ho letto la tua dimostrazione, ho avuto lo stesso sospetto di Armando. In particolare quando scrivi

$sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 <= int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx +1/k = ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k $

non puoi passare direttamente a

$lim_{k->+infty} sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) =lim_{k->+infty} ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k = ln 2$

Fortunatamente poi ho letto il tuo secondo commento che mi ha chiarito le idee . Complimentoni!

Ops: caricando la pagina, in "Revisione argomento " vedo il commento di Armando che spiega tutto

[j18eos]

Sottolineo che nel mezzo c'è il simbolo \( \displaystyle \leq \) , quindi non è ancora stata confutata la mia tesi che robbstark abbia solo trovato una maggiorazione.

P.S.: Grazie per avermi chiamato per nome!

[Mathematico]

Mmm, tu stesso hai dimostrato che
\( \displaystyle \lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}=0 \)

Dunque:
\( \displaystyle \lim_{k\to \infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k} = \lim_{k\to\infty }\int_{\alpha}^{k+1}\frac{1}{x+k} dx +\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2} \)
da ciò segue la tesi


[ot]figurati, il tuo nickname mi viene difficile da ricordare, inoltre uno dei miei migliori amici si chiama armando

[j18eos]

Che svista! -_-

Lo ribadisco ancora che pensavo (come si è dimostrato) di essere in errore. Quella maggiorazione mi ha fregato.

[gugo82]

Tra l'altro, a questo punto si potrebbe congetturare la seguente generalizzazione:

\( \displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\},\quad \lim_n \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} =\ln (\beta +1) \) [...]

Domanda bonus: da questo esercizio è possibile desumere una dimostrazione della divergenza della serie armonica?

Risposta seria alla domanda bonus.

Si ha:

\( \displaystyle \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} = \sum_{h=n+\alpha }^{(\beta +1)n} \frac{1}{h} = \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} \)

quindi:

(*) \( \displaystyle \lim_n \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} =\ln (\beta +1) \) ;

se, per assurdo, supponessimo che \( \displaystyle \sum \frac{1}{h} \) converga, allora dovrebbe essere soddisfatto il criterio di Cauchy, i.e.:

\( \displaystyle \lim_{p,q \to +\infty} \left| \sum_{h=1}^p \frac{1}{h} -\sum_{h=1}^q \frac{1}{h} \right| =0 \)

quindi il limite (*) dovrebbe essere nullo, in palese contraddizione con quanto provato.
Quindi \( \displaystyle \sum \frac{1}{h} \) diverge.