n fattoriale = (n-2) circolare

[Umby]

Prendendo spunto da questo topic Leggi qui

mi chiedevo se fosse mai stato dimostrato che:

$n!$ = $(1*2*3*)$ + $(2*3*4)$ + ..... $((n-2) * (n-1) * n)$ + $((n-1) *n * 1)$ + $(n * 1 * 2)$

Esempio: 5! = 6 + 24 + 60 + 20 + 10

[Rigel]

In generale è falso: basta prendere $n=6$.

[Umby]

Mi rendo conto che ho scritto "la formula" in modo approssimativa, comunque,

per n=6, prenderai i termini a 4 a 4 (ovvero n-2)

1*2*3*4 +
2*3*4*5 +
3*4*5*6 +
4*5*6*1 +
5*6*1*2 +
6*1*2*3

pari a 720.

[gugo82]

Come detto meglio nell'altro thread, vuoi dimostrare che la somma di tutti prodotti delle \( \displaystyle N-2 \) -uple di numeri naturali \( \displaystyle \leq N \) è uguale a \( \displaystyle N! \) .
Vediamo un po'...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ordinando un po' le cose in una tabella, abbiamo:

\( \displaystyle \begin{matrix}\times & \times & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & N \\
1 & \times & \times & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & N \\
1 & 2 & \times & \times & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & N \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ldots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & \times & \times & N\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & \times & \times \\
\times & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & \times \end{matrix} \)

ove le \( \displaystyle \times \) denotano i numeri soppressi; si vede immediatamente che i prodotti degli elementi delle prime \( \displaystyle N-1 \) righe si scrivono:

\( \displaystyle p_n = \frac{N!}{n (n+1)} \) per \( \displaystyle n=1,\ldots, N-1 \) ,

mentre quello degli elementi dell'ultima riga è semplicemente:

\( \displaystyle p_N =(N-1)! \) ;

ne viene che la somma proposta è:

\( \displaystyle p_N +\sum_{n=1}^{N-1} p_n =(N-1)! +N! \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n(n+1)} \)
\( \displaystyle =(N-1)! + N! \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \) *
\( \displaystyle =(N-1)! +N! \left( 1-\frac{1}{N}\right) \)
\( \displaystyle =(N-1)! +(N-1)!\ (N-1) \)
\( \displaystyle =(N-1)!\ (1+N-1) \)
\( \displaystyle =N! \) ,

come si voleva. \( \displaystyle \square \)


__________
* Abbastanza evidentemente risulta:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\ldots -\frac{1}{N-1} +\frac{1}{N-1} -\frac{1}{N} =1-\frac{1}{N} \) ,

giacché questa è la somma parziale \( \displaystyle N-1 \) -esima di una serie telescopica.

[orazioster]

Caspita, penso sia la stessa dimostrazione (che non ancora lessi); ma,
dopo che ci pensai, e la trovai semplice allora -ecco, lasciatemela scrivere!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La somma proposta è uguale ad:
$n!*A$,
ed $ A= 1/(1*n) +1/(n*(n-1)) + ... + 1/((n-(n-2))*(n-(n-1))) =$
$=1/(n) + [1/(n-1) -1/n] + ... + [1/(n-(n-1)) -1/(n-(n-2))] = 1/(n-(n-1)) = 1;$