Indirizzato a chi sta facendo analisi I o corsi di topologia (per uno del primo anno questo esercizio lo reputo difficile, per uno del quarto tutto sommato tranquillo ), questo esercizio fornisce qualche esempio di inisiemi compatti in spazi di Banach a dimensione infinita, che "come sappiamo" non sono così facili da trovare
(possiedo la soluzione fatta da me)
"Consideriamo lo spazio \( \displaystyle l^2(N)=\left\{x=(x_1,x_2,x_3,...) \mid \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^2<+\infty\right\} \) con la norma \( \displaystyle \mid\mid x\mid\mid=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^2<+\infty\right)^{\frac{1}{2}} \)
(Si può dimostrare che questo spazio - lo spazio di tutte le successioni a valori reali per cui la serie dei quadrati converge - è uno spazio di Hilbert)
e una successione a termini positivi \( \displaystyle \alpha_n \) tale che \( \displaystyle \alpha_n\to 0 \) .
Posto \( \displaystyle D_{\alpha}=\left\{x\in l^2(N) \mid |x_i|\leq\alpha_i\right\} \) vi chiedo di trovare le condizioni necessarie e sufficienti affinchè \( \displaystyle D_{\alpha} \) sia compatto."
hint:
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Considerare per prima cosa un esempio, per esempio il caso in cui $\alpha_n=1/n$
Domanda Bonus (questa è di un livello più alto rispetto al quesito precedente):
se invece ora consideriamo lo spazio \( \displaystyle l^p(N)=\left\{x=(x_1,x_2,x_3,...) \mid \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^p<+\infty\right\} \) con la norma \( \displaystyle \mid\mid x\mid\mid=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^p<+\infty\right)^{\frac{1}{p}} \) dove $p>=1$.
(Si può dimostrare che questo spazioè uno spazio di Banach).
e una successione a termini positivi \( \displaystyle \alpha_n \) tale che \( \displaystyle \alpha_n\to 0 \) .
Posto \( \displaystyle D_{\alpha}=\left\{x\in l^p(N) \mid |x_i|\leq\alpha_i\right\} \) , sotto quali condizioni \( \displaystyle D_{\alpha} \) è compatto (ammesso, ma non concesso, che ne esistano)?"