Uno Sfizioso Teorema del Valor Medio

[razorbak90]

@Dan95
Se $v'(x)=\frac{v(x)-v(a)}{x-a}$ per qualche $x$ allora si ricava immediatamente la tesi (semplicemente sostituendo $f(x)$ a $v(x)$), però è proprio ciò che voglio dimostrare.

@Rigel
Per il punto 2), si, la funzione da te proposta è differenziabile in $0$, però non avendo voglia di fare i calcoli, e dato che "ad occhio" la funzione non mi sembrava differenziabile in $0$ (sbagliando), ho semplicemente detto per andare sul sicuro che $x^3sin(1/x)$ è sicuramente differenziabile in $0$.

Per il punto 1), quindi? Cosa c'entra con la prova che ho postato? Se ho sbagliato qualcosa ti prego di riferirti alla prova che ho proposto il 26/05/2017 alle 15:05.

[Rigel]

Io leggo questo:

...
Altrimenti definiamo

$g(x):=v'(x)(a-x)+v(x)-v(a),$

nel caso di $v(x)$ monotona, supponiamo crescente, dato che $v(x)$ non è costante,...

Da qui mi sembra di capire che, quando $v$ non è costante, tu deduca che $v$ è monotona. O forse intendevi qualcos'altro?

[razorbak90]

$v(x)$ può essere monotona o non monotona, ho considerato entrambi i casi.

[dan95]

@Razor
Ah è vero, avevo letto di fretta

[gugo82]

A distanza di tempo, scrivo la mia.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

1. Considero la funzione ausiliaria:
\[
\theta (x) :=\begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} - f^\prime (a) &\text{, se } a<x\leq b\\ 0 &\text{, se } x=a\end{cases}\; .
\]
Tale funzione è continua in $[a,b]$ e derivabile in \(]a,b]\), con derivata ivi continua. La derivabilità in $b$ si prova sfruttando una conseguenza del Teorema di de l'Hospital, mentre il fatto che la derivata prima sia continua fino in $b$ si prova con un po' di conti tenendo presente che:
\[
\theta^\prime (b) = \frac{f^\prime (b) (b-a) - f(b) + f(a)}{(b-a)^2}\; .
\]
Ora, se $\theta (b)=0$, si applica il Teorema di Rolle a $\theta$ e si trova un $\xi \in ]a,b[$ tale che:
\[
\theta^\prime (\xi )= \frac{f^\prime (\xi )\ (\xi - a) - f(\xi) + f(a)}{(\xi - a)^2} = 0\; ,
\]
da cui la tesi.
Se $\theta (b)>0$ allora è $\theta^\prime (b) < 0$, cosicché \(\theta^\prime (x) < 0\) intorno a $b$; per il Criterio di Monotònia, $\theta$ è strettamente decrescente intorno a $b$, quindi è possibile determinare un punto $x_1 \in ]a,b[$ tale che $\theta (x_1)>\theta (b)> 0 =\theta (a)$; applicando il Teorema dei valori intermedi in $[a,x_1]$ riusciamo a trovare un punto \(x_2\in [a,x_1]\) tale che \(\theta (x_2) = \theta (b)\); infine, applicando il Teorema di Rolle in $[x_2,b]$ e si conclude come sopra.
Analogamente si ragiona quando $\theta (b)<0$.

2. L'interpretazione geometrica del teorema è la seguente.
Se le tangenti al grafico di $f$ nei punti $A=(a,f(a))$ e $B=(b,f(b))$ sono parallele, allora esiste una retta passante per $A$ che risulta essere tangente al grafico in un punto $C=(\xi , f(\xi))$.

***

3. Lavoriamo ora nel caso più generale, cioè nel caso in cui $f^\prime (a)\neq f^\prime (b)$.
Provare che esiste $\eta \in ]a,b[$ tale che:
\[
f(\eta) - f(a) = f^\prime (\eta)\ (\eta - a) + \frac{1}{2}\ \frac{f^\prime (b) - f^\prime (a)}{b-a}\ (\eta - a)^2\; .
\]

[otta96]

Non sono stato a leggere tutti i commenti, in particolare le dimostrazioni, ma avevo pensato ad un possibile controesempio, credo ci sia qualcosa che faccia sì che non funziona da controesempio perché avete fornito molte dimostrazioni di questo fatto e immagino che almeno una giusta ci sia.
Il controesempio sarebbe la funzione $sen$ definita in $[0,2pi]$, cos'è che non va bene?

[dan95]

1) $\cos(0)=cos(2\pi)=1$ ok
2) $\sin(\xi)=\cos(\xi)\xi$ è vera per $\xi ~~ 4.4934$

[otta96]

Ok grazie, mi sono accorto che non avevo capito bene il testo.

[dan95]

Qualcosa dentro mi dice che questo problema si risolve con il funzionale d'azione...

[gugo82]

Qualcosa dentro mi dice che questo problema si risolve con il funzionale d'azione...

No, no... È molto più semplice.