Un modo di risolvere potrebbe essere questo:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si ha che, fissato $n\in\mathbb{N}$,
$$f_n(x)=f_n'(x)+\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
per ogni $x\in\mathbb{R}$. Poiché $f_n(x)$ è un polinomio di grado pari, ben definito in tutto $\mathbb{R}$, tale che $\lim_{x\rightarrow-\infty}f_n(x)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_n(x)=+\infty$, si avrà che esso ammette minimo assoluto in un certo punto $x_0\in\mathbb{R}$. Poiché $f_n(x)$ è derivabile si avrà che $f_n'(x_0)=0$ e quindi per la relazione scritta sopra avremo che $f_n(x_0)=f_n'(x_0)+\frac{x_0^{2n}}{(2n)!}=\frac{x_0^{2n}}{(2n)!}\ge0$.
Essendo $f_n(0)=1$ allora $f_n(x_0)\>0$, da cui si ricava che per ogni $x\in\mathbb{R}$ e per ogni $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)>0$.