Tentativo di dimostrare la congettura di Goldbach

[axpgn]

@Quinzio
Io quella la chiamo "conversa" e non "inversa" ovvero data l'implicazione $p => q$ allora la sua conversa è $q => p$ mentre la sua inversa è $not p => not q$ (e la contrapositiva è $not q => not p$ che è equivalente all'implicazione originale).
Mi pare ci sia un po' di discordanza sull'argomento almeno in italiano, tu che ne pensi?

[Quinzio]

@Quinzio
Io quella la chiamo "conversa" e non "inversa" ovvero data l'implicazione $ p => q $ allora la sua conversa è $ q => p $ mentre la sua inversa è $ not p => not q $ (e la contrapositiva è $ not q => not p $ che è equivalente all'implicazione originale).
Mi pare ci sia un po' di discordanza sull'argomento almeno in italiano, tu che ne pensi?

Veramente non solo $ (p => q) = (not q => not p) $
ma anche $ (q => p) = (not p => not q) $.
Basta scambiare le lettere.

C'e' questa pagina Wiki in inglese "Converse"
https://en.wikipedia.org/wiki/Converse_(logic)
che come pagina equivalente in italiano ha
https://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione_inversa

Non saprei.

[axpgn]

Veramente non solo $ (p => q) = (not q => not p) $
ma anche $ (q => p) = (not p => not q) $.
Basta scambiare le lettere.

Sì, lo so.

C'e' questa pagina Wiki in inglese "Converse"
https://en.wikipedia.org/wiki/Converse_(logic)
che come pagina equivalente in italiano ha
https://it.wikipedia.org/wiki/Implicazione_inversa

Non saprei.

Appunto.

[Quinzio]

OK, ho capito il senso della domanda.
Credo che siano tutti termini che vengono dal mondo della filosofia, o sono termini arcaici.
E' questo che volevi dire ?

[axpgn]

No, no, noto proprio una discordanza.
Tra inglese e italiano ma anche tra diverse fonti nella nostra lingua.
Mi pare chiaro che se diamo lo stesso nome a due cose diverse o due nomi alla stessa cosa diventa difficile comprendersi.
IMHO

[Thinker]

Anzitutto ringrazio Quinzio e axpgn per i loro interventi anche se mi riesce difficile capire i simboli matematici. Il fatto è che mi è sorto un dubbio che mi rode il cervello come un tarlo, ma sicuramente voi matematici del forum avrete la risposta.
Se si legge il post con cui ho aperto questa discussione si noterà che la somma di due numeri primi può essere scritta come la somma di due numeri pari + 1 + 1, ovvero la somma di due numeri pari + 2. Quindi vale la seguente equivalenza:

(1) numero primo + numero primo = numero pari +
numero pari + 2

Ora va da sé che tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2, quindi stante l'equivalenza (1) tutti i numeri pari sono anche la somma di due numeri primi.
Se qualcuno vuole rispondere lo faccia in maniera semplice , con parole povere altrimenti non capisco. Inoltre, se dovessi aver preso un'altra cantonata, non sgridatemi, voi siete il mio oracolo

[Martino]

Ciao Thinker, provo a dirlo nel modo più sintetico possibile.

La congettura di Goldbach dice che

(1) ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.

Quello che hai dimostrato tu, invece, è che

(2) ogni somma di due numeri primi dispari è un numero pari.

Come vedi (1) e (2) sono frasi molto diverse tra loro. La prima è una congettura tutt'oggi aperta, la seconda invece è una cosa ovvia.

Ti avevo risposto qui, non è chiaro?

[3m0o]

(1) numero primo + numero primo = numero pari +
numero pari + 2

Ora va da sé che tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2, quindi stante l'equivalenza (1) tutti i numeri pari sono anche la somma di due numeri primi.

Ciao, il problema è che hai dimostrato soltanto che la somma di due numeri primi (dispari) è un numero pari, o come preferisci te numero pari + numero pari + 2. E' vero che tutti i numeri pari sono scrivibili come numero pari + numero pari + 2, ma non hai dimostrato che li prendi tutti con i numeri primi.

Facciamo un esempio analogo per capire il problema
Congettura: Tutti i numeri pari maggiori di \(4\) sono scrivibili come somma di due multipli dispari di \(3\).


Non dimostrazione: il tuo ragionamento si applica anche qui.
Siano \(3n \) e \(3m\) due numeri multipli di \(3\) dispari. Siccome abbiamo considerato i multipli di \(3\) dispari allora \(3n = \text{numero pari} +1 \) e \(3m=\text{numero pari} + 1 \). Quindi \(3n+3m=\text{numero pari} + \text{numero pari} + 2\). Tutti i numeri pari sono la somma di due numeri pari + 2 e quindi tutti i numeri pari maggiori di \(4\) sono la somma di due multipli dispari di \(3\).

Ovviamente la congettura sopra è falsa poiché per esempio \(8 \) non è mai la somma di due multipli di \(3\) dispari. Quindi il ragionamento sopra è sbagliato! Ma dov'è il problema? Per scrivere \(8=\text{numero pari} + \text{numero pari} + 2 \) hai due scelte obbligate per i numeri pari, per esempio \( 8=2+4+2\). Ora sebbene sia vero che \(2=3-1\) quindi ottenibile come un numero multiplo di \(3\) dispari meno \(1\), per quanto tu ti sforzi \(4\) non lo puoi ottenere in questo modo. In modo del tutto simile, con il tuo ragionamento non hai la garanzia che con i numeri primi e sottraendo \(1\) ottieni tutti i numeri pari che ti servono per formare tutti i numeri pari come somma di \( \text{numero pari} + \text{numero pari} + 2 \).
Un altro controesempio alla congettura sopra è \(10\), è vero che \(10=\text{numero pari} + \text{numero pari} + 2 \), infatti puoi prendere \(10=0+8+2\), oppure \(10=2+6+2\), oppure \(10=4+4+2\). Ma non puoi trovare due numeri multipli di \(3\) dispari che sommati danno \(10\). Questo perché \(3-1=2\) e \(9-1=8\), ma per avere \(10\) come somma di due multipli di \(3\) dispari, dovresti avere anche \(0=\text{multiplo di 3 dispari} - 1\), oppure il \(6\) o il \(4\), cosa non possibile ovviamente.

Spero che questo esempio chiarisca il motivo per cui il tuo ragionamento non funziona.

Ps: Per i moderatori credo che questo thread dovrebbe essere spostato in secondaria II grado

[Thinker]

Ringrazio anche 3m0o e Martino per il loro intervento.
Cerco di schiarirmi le idee:
1) Tutti i numeri pari sono una o più diverse somme di due numeri pari + 2, e fin qui non dovrebbero esserci dubbi.
2) Non sono sicuro che tra le varie somme "numero pari + numero pari + 2" che compongono un numero pari ci sia anche la somma "numero pari + numero pari + 2" che sia somma di due numeri primi. Credo di aver capito...
Scusatemi tanto ma non essendo io un matematico su certe cose devo ragionare molto per capirle...

[marcokrt]

Ringrazio anche 3m0o e Martino per il loro intervento.
Cerco di schiarirmi le idee:
1) Tutti i numeri pari sono una o più diverse somme di due numeri pari + 2, e fin qui non dovrebbero esserci dubbi.
2) Non sono sicuro che tra le varie somme "numero pari + numero pari + 2" che compongono un numero pari ci sia anche la somma "numero pari + numero pari + 2" che sia somma di due numeri primi. Credo di aver capito...
Scusatemi tanto ma non essendo io un matematico su certe cose devo ragionare molto per capirle...

1) In realtà anche questa affermazione è falsa negli interi non negativi (in $\mathbb{Z}$ è vera). Controesempio: $0$ è un numero pari e non può essere scritto come $2 + 2 \cdot m$ (proprietà commutativa dell'addizione), dove $m \in \mathbb{N}_0$. Anche ponendo $m:=0$, otterremmo $2 + 0 = 2$ come più piccolo numero pari e ciò non è vero, giacché $0 < 2$ (e $0$ è pari per definizione).
2) L'errore concettuale, insanabile, di tutto il tuo ragionamento è che dimostrando l'asserto che sommando due elementi presi da due sottoinsiemi propri dei numeri dispari si ottenga sempre un pari (tutti i numeri primi diversi da $2$ sono numeri dispari, quindi inutile cavillare su questa generalizzazione), non si verifica mica che non esistano dei numeri pari che non siano la somma di due elementi provenienti dai suddetti insiemi di numeri dispari! In sintesi, potrebbero esserci dei valori pari che attirano una miriade di somme degli elementi dei due suddetti insiemi e dei valori potrebbero restare scoperti... insomma, dei buchi nella tela dei numeri pari a fronte di altri numeri pari in cui vanno a confluire un sacco di combinazioni diverse. La congettura deve essere verificata per ciascun punto a distanza di due unità sulla semiretta dei reali positivi, partendo da $4$, senza eccezioni o salti

P.S.
Il mio consiglio è di iniziare a muoversi nel mondo dei problemi aperti, provando a risolvere problemi meno conosciuti, che sono poco più di semplici esercizi... poi passare a provare a rispondere a qualche domanda posta alla fine di paper di recente pubblicazione. Se si arriva lì, si è già a buon punto... ma magari nel processo passeranno lustri, non si finisce mai di scoprire e imparare!