Somma positiva di coseni

[dan95]

Siano $\theta_1, \cdots, \theta_k$ numeri reali positivi dimostrare che esiste $n \in NN$ tale che
$$\sum_{i=1}^{k} \cos(n\theta_{i})>0$$

[Rigel]

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Non mi è venuta in mente nessuna dimostrazione semplice; propongo quindi questa.

Dato \(N\in\mathbb{N}^+\) definiamo la funzione
\[
f^N(x) := \frac{\pi}{2N} - |x|
\qquad |x| \leq \frac{\pi}{N},
\]
estesa con periodicità (con periodo \(T = 2\pi / N\)).

Definiamo
\[
\mu := \frac{1}{k} \sum_{k=1}^N |\theta_i|.
\]
Non è difficile verificare che esiste \(N\in\mathbb{N}^+\) tale che \(f^N(\mu) > 0\).
Fissato un tale \(N\), indichiamo \(f \equiv f^N\) per semplicità.

Supponiamo per assurdo che la proprietà da dimostrare sia falsa.
In particolare, per ogni \(j\in\mathbb{N}^+\) avremo che
\[
(1) \qquad \sum_{i=1}^k \cos(N(2j-1) \theta_i) \leq 0.
\]
Osserviamo che la sommatoria a primo membro è \(2\pi/N\)-periodica, quindi non è restrittivo supporre \(|\theta_i| \leq \pi/N\) per ogni \(i\in \{1,\ldots k\}\); in particolare, \(0\leq \mu \leq \pi/N\).

Consideriamo ora la funzione
\[
(2) \qquad f_n(x) := \frac{2}{N\pi} \sum_{j=1}^n \frac{1}{(2j-1)^2} \cos(N(2j-1)x),
\]
che è la somma parziale \(n\)-esima della serie di Fourier di \(f\), e converge uniformemente a \(f\) su tutto \(\mathbb{R}\).


Essendo \(|\theta_i| \leq \pi/N\) per ogni \(i\), si ha che
\[
\sum_{i=1}^k f(\theta_i) = \sum_{i=1}^k \left( \frac{\pi}{2N} - |\theta_i| \right) = k \left(\frac{\pi}{2N} - \mu\right) = k f(\mu) > 0.
\]
D'altra parte, \(\sum_{i=1}^k f_n(\theta_i)\) converge, per \(n\to +\infty\), a \(\sum_{i=1}^k f(\theta_i)\),
quindi esiste \(n\in\mathbb{N}^+\) tale che
\[
\sum_{i=1}^k f_n(\theta_i) > 0.
\]
Ma questo è assurdo in virtù di (1) e della definizione (2) di \(f_n\).

Edit: corretti segni dopo segnalazione di dan95.

[dan95]

A me i coefficienti di Fourier vengono negativi

[Rigel]

A me i coefficienti di Fourier vengono negativi

E c'hai anche ragione (sono andato a memoria senza rifare i conti).
Mi sembra comunque sia solo meglio: basta ragionare su \(-f\) e \(-f_N\). In particolare, quale che sia la media \(\mu\), trovi \(N\) tale che \(-f_N(\mu) > 0\).

[dan95]

Non mi convince. Se si corregge nel caso 1) abbiamo che $\sum_{j=1}^{n} -\frac{1}{(2j-1)^2}\sum_{i=1}^k \cos((2j-1)\theta_i) \geq 0$ e $\sum (\theta_i-\pi/2 )>0$.

[Rigel]

@dan95: ho cambiato i segni e cercato di aggiungere qualche dettaglio.

[dan95]

Veramente bella

[Rigel]

Veramente bella

Per caso sei a conoscenza di qualche dimostrazione più diretta?

[dan95]

No, ci sto pensando. Sarebbe interessante anche vedere se esiste un naturale tale che la somma si annulla

[Dobrogost]

Premetto che non ci ho tirato fuori molto, ma...

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Consideriamo i polinomi di Chebyshev $T_n$. Per relazione nota sappiamo che: $T_n(cos(\theta_i))=cos(n\theta_i)$. Pertanto il problema iniziale diventa: "trovare $n$ tale che: $\sum_{i} T_n(x_i) > 0$ con $x_i\in[-1,1]$"
Ora, i polinomi in questione si annullano in $x_k=cos(\frac{(2i-1)pi}{2n})$ per $i\in\{1,2,...,n\}$. Inoltre, $T_n(1)=1 \forall n$. Pertanto si verifica "ad occhio" che viene richiesto di trovare $n$ tale che, dati $x_i\in[-1,1]$ questi si trovino per certi $m_i=m(x_i)$ in: \begin{align} \left(cos\left(\frac{m_i}{2n}\pi\right),cos\left(\frac{m_i+2}{2n}\pi\right)\right) \end{align}con $m_i \equiv 1 mod 4$. A questo punto non so come continuare, nè se ne valga la pena. Intuitivamente, mi sembra sia fattibile da dimostrare, ma proprio non so.