[Analisi]-Cercando un limite di una somma

[Mathematico]

Ciao a tutti, grazie per essere intervenuti
Alcuni commenti alle soluzioni:
@gugo: Mi sciocca sempre di più la tua capacità di lavorare con funzioni che non sono canoniche, e ti ammiro molto per questo!!

La mia soluzione coincide con quella di Rigel, a cui va le mie più sentite congratulazioni per la velocità con cui l'ha trovata, io c'ho messo 5 giorni all'epoca.
Avevo risolto il problema per $\alpha=1$ poi mi sono accorto che il valore del limite non dipendeva da questo parametro, così ho generalizzato. Mi auguro vi sia piaciuto .

PS: chissà se esiste un'altra soluzione

PS2: Non sono riuscito a dire quale fosse la difficoltà dell'esercizio perchè questa dipendeva dal colpo d'occhio

[j18eos]

...Sentivo di aver usato un cannone laddove bastava la paletta per le mosche.

Se mi consenti quoto... mamma mia, questa volta mi hai spaventato.

[Mathematico]

Spezzo una lancia nei confronti della soluzione di Gugo. Nonostante sia molto elaborata, la trovo "didatticamente istruttiva". Mi piace l'idea!
Inoltre io non avrei mai e poi mai pensato alle funzioni speciali per giungere alla soluzione. Gugo ha dimostrato, ancora una volta, d'avere intuito da vendere .

[gugo82]

Grazie per i complimenti, ma non sento di meritarli; la soluzione di Rigel è quella che rende maggiormente giustizia al problema perchè, secondo me, si dovrebbe sempre evitare di complicarsi la vita.

Tra l'altro, a questo punto si potrebbe congetturare la seguente generalizzazione:

\( \displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\},\quad \lim_n \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} =\ln (\beta +1) \) ;

chi fa due conticini?


Domanda bonus: da questo esercizio è possibile desumere una dimostrazione della divergenza della serie armonica?


@Mathematico: Grazie per avermi ricordato quel vecchio thread.

[robbstark]

Prima di provare la generalizzazione, posto la soluzione che è venuta a me prima di sbirciare, che, come difficoltà è a metà strada tra quella di Rigel e quella di Gugo 82:

$int_{n}^{n+1} 1/(x+k) dx = ln((n+k+1)/(n+k)) =ln(1+1/(n+k))$

Utilizzando lo sviluppo in serie di Mc Laurin con resto di Lagrange:

$ln(1+1/(n+k))=1/(n+k) -1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 $

Dunque:

$1/(n+k) = int_{n}^{n+1} 1/(x+k) dx +1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 $

$sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 <= int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx +1/k = ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k $

$lim_{k->+infty} sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) =lim_{k->+infty} ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k = ln 2$

P.s.: In questo modo la generalizzazione risulta semplice. Inoltre per $alpha=0$ e $beta -> +infty$ si ottiene la serie armonica...

[j18eos]

Non mi sembra che \( \displaystyle \sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}\leq\frac{1}{k} \) ; ammesso che stia sbagliando comunque hai dimostrato che \( \displaystyle \lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{n+k}\leq\log2 \) .

[robbstark]

Forse non sono stato chiarissimo, oppure ho commesso qualche errore che non riesco a vedere. Spiego meglio:

1. $sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)(n+k)^2) $ è una somma di al più $k$ termini positivi, per maggiorarla quindi posso maggiorare i termini della sommatoria con un unico termine e moltiplicarlo per $k$, togliendo la sommatoria. Per maggiorare rimpicciolisco il denomitare, levando il fattore $2(1+t^2) > 1$ e ponendo $n=0$. Mi resta quindi:
$sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)(n+k)^2) <= k/k^2 =1/k $

2. $sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)(n+k)^2)$
Il limite si può calcolare adesso, ed è somma di due limiti, ma il secondo addendo è minore di $1/k$ ed è positivo, quindi al limite fa $0$. Resta che il limite della somma è uguale al limite dell'integrale.

Adesso ti torna?

[j18eos]

Continua a non tornarmi poiché, più semplicemente, viene che la somme di una serie numerica a termini positivi non nulli converge a \( \displaystyle 0 \) !(*) Poi \( \displaystyle n \) è l'indice della sommatoria, non puoi eliminarlo come hai fatto tu.

§§§

(*) Menomale che ho detto all'incirca: "Penso di aver sbagliato!" in quanto si tratta di una successione e non di una serie, basta vedere "bene"; come giustamente richiamato da robbstark!

[robbstark]

viene che la somme di una serie numerica a termini positivi non nulli converge a !

Non è la serie (che poi è una somma finita in realtà), ma è il limite della sommatoria al variare del parametro $k$. Se tu fissi $k=100$ la somma fa un certo valore. Se $k=1000$ un altro valore, ecc.. All'aumentare di $k$ questa somma diventa sempre più piccola. Esistono molti altri esempi del genere.

Poi $n$ è l'indice della sommatoria, non puoi eliminarlo come hai fatto tu.

Perchè non posso? Supponiamo di volere maggiorare la serie $sum_{n=1}^{100} 1/(n+1)$. Posso dire che è la somma di $100$ termini e che $1/(n+1) <1$ quindi la somma è minore di $100$. Anche in questo caso ho fatto una maggiorazione eliminando la dipendenza dei termini dall'indice della serie, prendendo quindi un valore che maggiorasse tutti i termini della serie.

[j18eos]

Ti posto il conto che ho fatto io: \( \displaystyle \sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}=\frac{1}{2(1+t^2)}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}\leq\frac{1}{2}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}<\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2} \) ; poiché \( \displaystyle k\geq n\geq\alpha\geq1 \) è \( \displaystyle 1\leq k<1+k\leq n+k\Rightarrow\bigg(k^2<(n+k)^2\iff\frac{1}{(n+k)^2}<\frac{1}{k^2}\bigg) \) , allora \( \displaystyle \sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}<\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}<\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{k^2}=\frac{k-\alpha}{k^2} \) . Da tutto ciò \( \displaystyle 0\leq\lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}<\lim_{k\to+\infty}\frac{k-\alpha}{k^2}=0 \) per il teorema dei carabinieri hai l'asserto, su questa parte.

EDIT: Corretta una microscopica svista: non è \( \displaystyle k\leq1+k \) ma \( \displaystyle k<1+k \) .