[EDO] Un teorema di unicità... da costruire

[Fioravante Patrone]

Si impara sempre! Conoscevo il "caso particolare" delle equazioni a variabili separabili, ma non mi ero mai soffermato sul perché e percome, né tanto meno sulla estendibilità di tale risultato al caso generale. Mi domando se non si possa provare il caso generale riconducendosi in qualche modo al caso particolare delle EDO a VS. Ma in questo caso partocolare la locale lipschzianità non viene invocata! Idee brillanti in merito?

[gugo82]

@FP: A quale risultato ti riferisci?

Ad ogni modo, un modo per mettere in mezzo le equazioni a variabili separabili potrebbe essere usare il teorema di approssimazione di un operatore compatto con una successione di operatori a rango finito... Ci dovrei pensare un po'.

Ricercando in rete un po' di roba sull'argomento ho trovato questo interessante articolo:

Cid & Pouso, Does Lipschitz with Respect to $x$ Imply Uniqueness for the Differential Equation $y' = f(x, y)$?, American Mathematical Monthly 116 (2009).

In generale, trovo che lo AMM sia una rivista da tenere sempre d'occhio, soprattutto per i docenti dei corsi dei primi anni.

[Fioravante Patrone]

@FP: A quale risultato ti riferisci?

Al fatto che in una EDO a VS: y'=a(x)b(y) è sufficiente la continuità del secondo membro, senza lipschitzianità, per garantire l'unicità (purché la b non si annulli nel valore iniziale).
Non so se c'entri. Forse no, magari è tutta un'altra cosa: nel caso generale la lipschitzianità rispetto a una variabile è comunque chiesta. Quindi magari sono completamente "fuori tema".