gugo82 ha scritto:Tra l'altro, a questo punto si potrebbe congetturare la seguente generalizzazione:
\( \displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\},\quad \lim_n \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} =\ln (\beta +1) \) [...]
Domanda bonus: da questo esercizio è possibile desumere una dimostrazione della divergenza della serie armonica?
Risposta seria alla
domanda bonus.
Si ha:
\( \displaystyle \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} = \sum_{h=n+\alpha }^{(\beta +1)n} \frac{1}{h} = \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} \)
quindi:
(*) \( \displaystyle \lim_n \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} =\ln (\beta +1) \) ;
se, per assurdo, supponessimo che \( \displaystyle \sum \frac{1}{h} \) converga, allora dovrebbe essere soddisfatto il
criterio di Cauchy, i.e.:
\( \displaystyle \lim_{p,q \to +\infty} \left| \sum_{h=1}^p \frac{1}{h} -\sum_{h=1}^q \frac{1}{h} \right| =0 \)
quindi il limite (*) dovrebbe essere nullo, in palese contraddizione con quanto provato.
Quindi \( \displaystyle \sum \frac{1}{h} \) diverge.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)