Una curva... spaziale!

[j18eos]

Come da titolo, è un lungo esercizio di geometria analitica nello spazio (a \(\displaystyle3\) dimensioni).

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Considerata la seguente curva¹ \(\displaystyle\Gamma\) parametrizzata:
\[
\varphi:t\in\mathbb{R}\to(t,t^2,t^3)\in\mathbb{R}^3
\]
dimostrare che:

1. \(\displaystyle\Gamma\) non è una curva piana, ovvero non esiste un piano che la contenga;
2. dimostrare che \(\displaystyle\Gamma\) è l'intersezione di \(\displaystyle3\) superfici² quadriche³, determinandole;
3. dimostrare che le tre superfici ottenute sono unioni di rette, determinandone il regolo⁴;
4. costruire un'applicazione polinomiale e biettive tra \(\displaystyle z=xy\) meno una retta e il piano meno una retta.

La curva in questione si chiama curva razionale normale di grado \(\displaystyle3\).

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Se proprio volete andare al manicomio, provate a cercare la soluzione per Internet... Le soluzioni ci sono, ma sono "specialistiche"

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Note

1. Non esagero: si da per scontato che sia una curva... ↑
2. Teoricamente il punto b implica il punto a, ma dovreste dimostrare che queste superfici non contengono piani; ad esempio la superficie:
   \[
   (x-y+z)(x+y-z)=0
   \]
   è unione di due piani.
   Per le conoscenze di uno studente di scuola secondaria di secondo grado, ciò si tradurrebbe in un mare di calcoli. ↑
3. Ovvero, superfici che sono il luogo di zeri di polinomi in tre indeterminate e di grado due. ↑
4. Ovvero, determinare tutte le rette che costituisocno la superficie trovata. ↑

[ciromario]

Forse sbaglio di grosso ma io tutti questi calcoli non li vedo.
a) Sia $ax+by+cz+d=0$ l'equazione del generico piano di $E^3$. Affinché tale piano contenga la curva data
deve aversi l'eguaglianza ;
(1) $at+bt^2+ct^3+d=0$
identicamente rispetto a t . Ciò implica che tutti i coefficienti della (1) siano nulli:
$a=b=c=d=0$
e con questo "sparisce" il piano. Non esiste quindi nessun piano che contenga la curva data. Si tratta di una curva "gobba".
b) Si ha poi:
$y=t^2=t\cdott=x\cdotx=x^2$
$z=t^3=t\cdot t^2=xy$
$y^2=t^4=t\cdot t^3=xz$
In definitiva la curva in questione è l'intersezione delle 3 quadriche ( irriducibili) ciascuna di equazione:
$y=x^2,z=xy,y^2=xz$

[j18eos]

Non sbagli affatto: i grossi calcoli (per gli studenti delle scuole ex-superiori) compaiono nel dimostrare il punto a a partire dal punto b!

Non mi aspettavo questo spostamento di stanza, quindi l'esercizio sarà profondamente modificato...

A domani!

[j18eos]

...eventualmente qualche moderatore cambiasse idea, e rimettesse questa discussione nella stanza Scervelliamoci un pò: ho solo inserito gli ultimi due punti.

P.S.: ci sarebbe una dimostrazione puramente geometrica del punto a...

[ciromario]

Il punto (c) si può risolvere in più modi. Per esempio, prendendo in considerazione la quadrica $z=xy$, si vede che si tratta di un paraboloide iperbolico . Per determinare il "regolo", sia $P( a,b,ab)$ un punto qualsiasi di essa. La retta generica
passante per P ha equazioni :
\begin{cases}x=a+lt\\y=b+mt\\z=ab+nt\end{cases}
Imponendo che tale retta appartenga alla quadrica , si ottengono questi risultati :
\begin{cases}l=0\\am-n=0\end{cases} e \begin{cases}m=0\\bl-n=0\end{cases}
a cui corrispondono le rette:
\begin{cases}x=a\\z=ay\end{cases} e \begin{cases}y=b\\z=bx\end{cases}
Al variare di $a,b$ si ha il "regolo".

[j18eos]

Una soluzione completa...

Vediamo se qualcun altro capirà l'attributo di completezza!

P.s.: Ma perché usi le virgolette per il regolo?

[ciromario]

Ma perché usi le virgolette per il regolo?

Sembrerà strano ma il termine "regolo" è nuovo per me ( forse perché sono della vecchia guardia . L'ho sempre conosciuto come "schiera rigata" o "sistema di generatrici".

[j18eos]

Anche schiera di rette.

In effetti regolo è un termine più anglo-sassone e proprio della geometria su campi finiti o combinatorica!