Derivata del limite e limite della derivata...

[Erasmus_First]

Paper.png

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[Rigel]

Non mi è del tutto chiaro lo scopo di questo esempio.
Se si vuole mostrare che, in generale, non si possono scambiare limite e derivata ci sono esempi decisamente più semplici.
Ad esempio, la successione di funzioni
\[
f_n(x) = \frac{\sin (nx)}{n}\,,
\]
converge (uniformemente) a \(f(x) = 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), funzione che ha derivata nulla.
D'altra parte
\[
f_n'(x) = \cos(nx)\,,
\]
e il limite per \(n\to+\infty\) di questa successione non esiste a meno che \(x/\pi\) non sia razionale.

[Erasmus_First]

Non mi è del tutto chiaro lo scopo di questo esempio.

In questi giorni mi è tornato alla mente un argomento trascurato di solito nella didattica (e che invece era molto importante quando, quarant'anni fa, lavoravamo in Telecomunicazionisu tecniche a divisione di tempo ma ancora analogiche) : funzioni periodiche risultanti da composizioni di sequenze di particolari funzioni impulsive.
Vedi, ad esempio, in un altro thread aperto da me il caso
$cosh((|x| mod 2π)-π)/sinh(π) =\sum_{n=-∞}^{+∞}e^(-!x+n·2π|)$.
Qui invece è:
$1/2 ln[(1+sin(x))/(1-sin(x))] = \sum_{n=-∞}^{+∞}ln|((2nπ+x)+π/2)/((2nπ + x) – π/2)|$.
Mi sono quindi soffermato a pensare (proprio su questo esempio) che gli sviluppi di funzioni periodiche in serie di Fourier, avendo componenti a frequenza ... grande a piacere , convergono sì alla rispettiva funzione periodica, ma lo fanno mantenendo una specie di "scabrezza" che diventa – al crescere del numero di armoniche – sempre più minuta, ma mantiene localmente una pendenza variabile tra estremi finiti di segno opposto. [Il noto "fenomeno di Gibbs" dell'onda quadra è un caso particolare].

Se si vuole mostrare che, in generale, non si possono scambiare limite e derivata ci sono esempi decisamente più semplici.
Ad esempio, la successione di funzioni
\[
f_n(x) = \frac{\sin (nx)}{n}\,,
\]
converge (uniformemente) a \(f(x) = 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\), funzione che ha derivata nulla.
D'altra parte
\[
f_n'(x) = \cos(nx)\,,
\]
e il limite per \(n\to+\infty\) di questa successione non esiste a meno che \(x/\pi\) non sia razionale.

Certo! Questo esempio è fin troppo facile! [Non ci crederai, ma ero tentato di metterlo come introduzione al mio "paper"].
Poi ... mi interessava anche mostrare un esempio di come spesso, passando per il campo complesso, si evitano noiose e difficoltose integrazioni.
Insomma: il paper m'è venuto così. Lo scopo, in fondo, è sempre quello: riflettere su aspetti della matematica che io trovo molto eleganti.
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[Rigel]

Insomma: il paper m'è venuto così. Lo scopo, in fondo, è sempre quello: riflettere su aspetti della matematica che io trovo molto eleganti.

Benissimo!
Ben vengano i tuoi interventi.

[dan95]

Il passaggio al limite sotto derivata richiede tre condizioni sufficienti:
1) $f_n \in C^1([a,b])$ per ogni $n \in NN$, cioè la funzione è continua e ammette derivata prima continua in un compatto.
2) $\EE x_0 \in [a,b]$ t.c. $(f_n)_n$ converge.
3) $(f'_n)_n$ converge unif. nel compatto.