dan95 ha scritto:In effetti ora che sto vedendo con più attenzione il tuo ragionamento fila...
La tua funzione $f(x)$ ( metto $x$ per convenzione ) indica la distanza tra il punto $(x,0)$ e $(x,f(x))$ che è proprio la semicorda
c'è qualcosa che mi sfugge...
Il motivo è semplice, lui non stai calcolando la media delle lunghezze di tutte le corde, ma solo la media delle lunghezze delle corde che uniscono tra loro 2 punti simmetrici rispetto al diametro 'orizzontale'.
Il problema originale chiedeva invece la lunghezza media di
tutte le corde, valore che è correttamente uguale a $\frac{4 R}{\pi} \approx 1.27 R$
Dove sta l'inghippo?
Nel suo caso:
la somma delle lunghezze delle corde è $\pi R^2$,
diviso il 'numero' di corde $2R$ poichè $x \in [-R,R]$
dà come risultato $\frac{\pi R^2}{2R} = \frac{\pi R}{2} \approx 1.57 R$
ma è scorretto pensare che per ciascun valore x esista una sola corda: non solo ne esistono infinite, ma più importante la media delle lunghezze delle corde passanti per ciascun punto del diametro non coincide con la lunghezza della corda perpendicolare al diametro in quel punto.
Esempio: mentre se consideri tutte le corde passanti per il centro, effettivamente la loro lunghezza media è $2R$, se invece consideri le lunghezze di tutte le corde passanti per il punto $[R,0]$ è evidente che il loro valor medio è maggiore di zero (mentre zero è invece la lunghezza dell'unica corda passante per $[R,0]$ e perpendicolare al diametro in quel punto).
Quindi per riassumere: il ragionamento che parte dalle semicorde perpendicolari al diametro orizzontale non tiene conto di tutte le corde.