Vincenzo10 ha scritto:[...] volevo far notare [...] che, almeno nel caso della “mia” successione non è necessario che tu determini le costanti $A$ e $B$ in base ai valori iniziali $0$ e $1$. Puoi scegliere una coppia di valori qualsiasi.
Tu qui con la parola "valori" intendi in realtà "indici".
Certo: servono termini della "successione" di indice distinto, non conta che siano quelli di indice 0 e 1 e nemmeno che siano consecutivi. Si tratta infatti di risolvere un sistema lineare le cui soluzioni non cambiano cambiando gli indici dei termini considerati (purché si tratti di "
sequenza linearmente dipendente").
Occho: tu continui ad usare la parola "successione" ... che è anche appropriata se, come fai, consideri sempre indici naturali.
Ma le tue "successioni" sono ... "mezze sequenze".
[Sai che io con "sequenza" intendo una infinità di numeri in corrispondenza biunivoca con gli interi $ZZ$, interi negativi compresi].
Infatti, tutti gli esempi che fai sono sfilze di interi estendibili anche a sinistra, con indice negativo da $-1$ a $-∞$. Per esempio la tua "successione" iniziale:
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ...
è caratterizzata dalla legge di ricorrenza
$a_(n+2) = 2·a_(n+1) + a_n$ (che è valida $∀n ∈ NN$, ma che va bene anche $∀n∈ZZ$).
A parole: dati tre termini in fila della sequenza, il terzo la somma del primo e del doppio del secondo.
Sicché da due termini consecutivi puoi andare "in avanti" a piacere un termine alla volta.
Ma la stessa legge si può dire anche così: dati tre termini in fila, il primo è la differenza tra il terzo ed il doppio del secondo.
E allora da due termini consecutivi puoi anche andare "all'indietro" a piacere un termine alla volta.
Nell'esempio in corso, prolungando a sinistra la tua "mezza sequenza" si trova che per indice negativo i termini della "mezza sequenza" di sinistra "sequenza" hanno segno alterno:
$∀n∈NN$ $a_(-n) = -(-1)^n·a_n$;
$... 169, -70, 29, -12, 5, -2, 1, 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 129, ...$.
Nel caso di "ordine 2" , – diciamo $a_(n+2) = α·a_(n+1) + β·a_n$, $n$ intero ed autovalori distinti – si scelgono i termini consecutivi $a_0, a_1$ solo perché sono i più comodi (non c'è da fare potenze di $x_(1,2)=(α ± sqrt(α^2+4β))/2$).
[Ti faccio notare che – sempre nel caso del 2° ordine – se gli autovalori $x_1$ e $x_2$ non sono distinti, diciasmo se $x_1 = x_2 = k ≠ 0$ – la soluzione generale non è del tipo
$a_n = A·x_1^n + B·x_2^n$
bensì del tipo
$a_n = (A + B·n)·k^n$, (dove k è l'unico autovalore).
In particolare, per $k=1$ – cioè per legge di ricorrenza $∀n∈ZZ$ $a_(n+2)=2·a_(n+1) - a_n$ – la soluzione è del tipo
$a_n = A+n·B$ (si riduce cioè ad una progressione aritmetica di ragione
B).
Vincenzo10 ha scritto:[...] una successione di interi [...] generata dalla formula B:
$a_(n+1)=L*a_(n)+a_(n-1)$ determina un rapporto $a_(n)/a_(n-1)$ che converge al valore $(sqrt(L^2+4)-L)/2$.
Occhio ai segni! $(sqrt(L^2+4)+L)/2$.
Dalla legge di ricorrenza $a_(n+1)=L*a_n+a_(n-1)$ viene il polinomio caratteristico
$x^2 - L·x - 1$
i cui autovalori sono
$x_1=(L + sqrt(L^2+4))/2$; $x_2=(L - sqrt(L^2+4))/2$.
Pertanto la soluzione generale è del tipo
$a_n = A·((L+sqrt(L^2+4))/2)^n + B((L-sqrt(L^2+4))/2)^n$.
Vedi che questa – come deve essere in generale – è la somma di due progressioni geometriche, una di ragione $x_1$ e l'altra di ragione $x_2$.
Se il prodotto dei due autovalori è 1 oppure –1 ed uno dei due è positivo e aggiore di 1, l'altro deve essere di modulo minore di 1. Allora una progressione cresce e diverge, l'altra invece è infinitesima (tende a zero). A lungo andare la prima è dominante; ed il rapporto tra un termine ed il precedente tende alla ragione della progressione geometrica dominante, cioè all'autovalore maggiore di 1.
Nel caso B che menzioni tu appunto $(sqrt(L^2+4)+L)/2$.
Vincenzo10 ha scritto:[...] formule ricorsive del tipo $a_(n+1)=L⋅a_n+K⋅a_(n−1)$ [...]. Se uno pone $L=2$ e $K=−$1 ottiene semplicemente la successione naturale dei numeri interi.
Non è proprio così!
Ho già fatto notare, più sopra, che le
"sequenze linearmente dipendenti di ordine 2" con un solo autovalore (di molteplicità 2) – diciamolo $k ≠ 0$– sono in generale del tipo
$a_n = (A + n·B)·k^n$
e pertanto, se in particolare è $k = 1$, si riducono a progressioni aritmetiche di ragione
B.
Per esempio:
$... –14, -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...$
verifica la legge di ricorrenza
$∀n∈ZZ a_(n+1) = 2·a_n – 1·a_(n-1)$
ma non è la "successione dei naturali".
Vedi che è comunque una progressione aritmetica.
Ovviamente, se imponi che due termini consecutivi siano interi ed il secondo sia un'unità maggiore del primo, la ragione della progressione aritmetica è 1, tutti i termini sono interi e pertando si tratta proprio della sequenza degli interi $ZZ$ (la quale subordina la successione dei naturali a partire dal termine che vale "0" [al quale puoi assegnare un arbitrario indicescelto a piacere tra gli interi $ZZ$]).
–––––––
Ho dato un'occhiata a
tutte le tue "successioni", e vedo che sono tutte esempi di
"sequenze linearmente dipendenti" (in particolare
"di ordine 2") .
Ciao ciao.